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El teorema de Rolle nos permite determinar si una función presenta un extremo (máximo o mínimo) en un intervalo.
Sea 
una función:
Entonces, existe un punto 
que pertenece al intervalo en el que:
Es decir, si en un intervalo la función es continua, derivable y el valor inicial y el final son iguales, obligatoriamente habrá un punto en el cual la pendiente es nula (máximo o mínimo). Lo mostramos con un dibujo.
Es igual en el caso de un mínimo.
1. Verifica que la función 
satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 
Solución
Debemos comprobar que la función cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo 
La función deber ser continua y derivable en el intervalo
Efectivamente la función es continua y derivable (es un polinomio).
Sin embargo, el valor en los extremos del intervalo no coincide.
La función no satisface las hipótesis del teorema de Rolle y no podremos confirmar si existe un valor c que pertenece al intervalo, en el que 
.
2. Verifica que la función 
satisface las hipótesis del teorema de Rolle en los intervalos 
y 
. En caso afirmativo, encuentra los valores c tales que 
.
Solución
Debemos comprobar que la función cumple las condiciones del teorema de Rolle en ambos intervalos. Recordamos que el teorema dice que:
Sea 
una función:
Continua en el intervalo 
Derivable en el intervalo 
Entonces existe un punto 
que pertenece al intervalo en el que:
Comprobamos en 
La función es continua y derivable en el intervalo. Comprobamos si se cumple que 
.
Se cumple el Teorema de Rolle.
Comprobamos en 
La función es continua y derivable en el intervalo. Comprobamos si se cumple que 
.
Se cumple el Teorema de Rolle.
Se cumple el teorema en ambos intervalos. Por tanto, existirá un valor c en cada intervalo, en el que la derivada es igual a cero.
Los calculamos:
El valor 
pertenece al intervalo .
El valor 
pertenece al intervalo .
3. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función 
en el intervalo 
?
Solución
En primer lugar, deshacemos el valor absoluto:
Estudiamos si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle:
es continua en el intervalo 
.
Estudiamos la continuidad en el punto en el que puede presentar problemas: 
.
La función es continua en y, por tanto, en todo el intervalo 
es derivable en el intervalo .
Estudiamos la derivabilidad en el punto en el que puede presentar problemas: .
La función no es derivable en .
La función no es derivable en el intervalo. No se cumple el teorema de Rolle.
4. Probar que la ecuación 
tiene una única solución utilizando el teorema de Rolle.
Solución
Si analizamos la función podemos ver que:
La función muy a la izquierda es negativa y muy a la derecha es positiva. Además, tiene grado tres. Por tanto, para cumplir con los signos debe cortar al eje o una o tres veces. Es decir, tendrá o una o tres soluciones. No puede tener dos.
Ya hemos demostrado que no puede tener dos soluciones. Para demostrar que solo tiene una y no tres soluciones, utilizamos la reducción al absurdo.
La reducción al absurdo consiste en dar por verdadera una hipótesis. Si al desarrollarla, llegamos a una contradicción, implica que la hipótesis de la que partimos no es verdadera.
Partiremos de la hipótesis de que la función tiene tres soluciones reales, si llegamos a un absurdo, esta hipótesis de partida será nula y la función solo podrá tener una solución.
Si la función tiene tres soluciones, hay tres valores para los cuales:
Además, como la función es continua y derivable (polinomio) en todo su dominio. Se cumplirá el Teorema de Rolle y deben existir dos puntos distintos para los cuales la derivada sea cero.
Sin embargo, al intentar resolver la ecuación, comprobamos que la ecuación no tiene soluciones reales. Por tanto, llegamos a una contradicción. La hipótesis de partida es nula. La función no puede tener tres soluciones.
Por tanto, la función tiene una solución única.