Integrales por cambio de variable

Integrales por cambio de variable

El cambio de variable es un recurso utilizado en las integrales complejas. El objetivo es sustituir un elemento repetitivo e incómodo de la integral por algo más sencillo, de forma que sea más fácil integrar. Se utiliza sobre todo cuando nos encontramos con funciones complejas, del tipo:
 

Es importante tener en cuenta que, al hacer un cambio de variable, tenemos que cambiar también el diferencial .

Ejemplo: Resolvemos la siguiente integral:

Hacemos el cambio de variable:

Derivamos ambos términos en su variable correspondiente, para despejar

Sustituimos en la integral e integramos:

Por último, deshacemos el cambio de variable:

Ejercicios resueltos

1. Resolver la siguiente integral:

Derivamos ambos términos en su variable correspondiente, para despejar

Sustituimos:

Nos encontramos con una integral racional, tenemos que dividir los polinomios y separar en fracciones simples: 

Deshacemos el cambio de variable:

2. Resolvemos la siguiente integral:

Solución

Planteamos el cambio de variable; cuando hay raíces cuadradas, hacemos un cambio de variable que nos permita eliminar la raíz:

Derivamos ambos términos y despejamos dx:

Sustituimos y resolvemos:

Deshacemos el cambio de variable:

Resolvemos:

 

Vídeo complementario