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1. Calcular la monotonía y extremos de la siguiente función:
Solución
Calculamos su derivada y estudiamos el signo:
La función es creciente en el intervalo: 
La función es decreciente en el intervalo: 
La función presenta extremos relativos en los puntos: 
y 
.
En presenta un máximo (crece y decrece). El máximo es el punto 
En presenta un mínimo (decrece y crece). El mínimo es el punto
2. Calcular los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos de la siguiente función:
Solución
Estudiamos el signo de la primera derivada:
La función es creciente en el intervalo 
.
La función es decreciente en los intervalos 
.
La función presenta un mínimo absoluto en el punto 
.
La función presenta un máximo absoluto en el punto 
.
3. Estudia la monotonía y los extremos de la función:
Solución
Estudiamos el signo de la derivada:
La función es creciente en el intervalo 
.
La función es decreciente en el intervalo 
.
La función presenta un punto de silla en el punto 
. Se anula su pendiente y su derivada, pero sigue creciendo.
La función presenta un máximo en el punto 
. La función pasa de crecer a decrecer.
4. Sea la función 
, calcular a y b para que la función tenga un extremo en el punto 
. Calcular los extremos de la función para 
y 
.
Solución
Si la función tiene un extremo en el punto 
se cumple que:
La derivada en el valor 1 vale cero, 
:
La función en el valor 1 vale 1, 
:
Calcular los extremos de la función para 
y 
:
Calculamos la derivada y estudiamos el signo:
La función presenta un mínimo en el punto 
.
5. Determina los valores de a, b y c sabiendo que la función 
tiene extremos relativos en y 
y que corta a su función derivada en 
. Determina la naturaleza de los extremos.
Solución
Si la función tiene extremos relativos en 
y 
se cumple que:
El valor de la derivada en 1 vale 0, :
El valor de la derivada en -3 vale 0, 
:
Si la función corta a su función derivada en :
Se cumple 
:
Si resolvemos el sistema tenemos que:
Estudiamos el signo de la derivada:
La función es creciente en el intervalo 
.
La función es decreciente en el intervalo 
.
La función presenta un máximo en el punto 
.
La función presenta un mínimo en el punto 
1. Calcular la curvatura de la siguiente función:
Solución
Calculamos la primera derivada:
Calculamos la segunda derivada:
La función es convexa en el intervalo: 
.
La función es cóncava en el intervalo: 
La función presenta un punto de inflexión en el punto 
2. Estudiar la curvatura de la siguiente función:
Solución
Estudiamos el dominio de la función:
Estudiamos la primera derivada:
La segunda derivada no cambia de signo, no hay puntos de inflexión.
La función es convexa en todo su dominio:
3. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la siguiente función:
Solución
Estudiamos el dominio de la función:
Calculamos la primera derivada:
Calculamos la segunda derivada:
La función sufre un cambio de curvatura en 
que corresponde a los puntos donde presenta problemas de dominio, donde tiene asíntotas verticales. No tiene puntos de inflexión.
La función es cóncava (contenta) en el intervalo 
.
La función es convexa (triste) en el intervalo 
.
4. Estudiar la curvatura y calcular los puntos de inflexión de la función 
, sabiendo que:
Solución
Calculamos la segunda derivada:
La función presenta puntos de inflexión en 
, 
y 
.
La función es cóncava (contenta) en 
.
La función es convexa (triste) en 
.