Derivada. Introducción e interpretación geométrica

Introducción. Definición de derivada.

La derivada es una herramienta fundamental en matemáticas. De una forma muy simplificada, podemos entenderla como la variación que experimenta una función.

es una función que representa los valores de y en función de x

es la derivada de y representa la variación de en función de , es decir, es una función que representa la velocidad de variación de y con respecto a x.

¿Para qué sirve esto? Si representa la posición que ocupa un coche en función de su posición , representa la variación de su posición, es decir, la velocidad del coche en cada punto.

Dada una función , se define su derivada como y se calcula aplicando el siguiente límite:

Si analizamos la expresión: Se está definiendo un intervalo  de tamaño “h” y calculando la variación de la función en ese intervalo , para posteriormente dividirla entre el incremento horizontal (o longitud del intervalo).

Es así como se calcula la variación media de una función en un intervalo.

Una vez definido el intervalo y aplicada la fórmula de la variación media de la función en el intervalo, se aplica el límite . Con esto lo que conseguimos es que el tamaño del intervalo tienda a cero y que, por tanto, se esté calculando la variación de una función entre dos puntos inmediatamente próximos (aproximamos el intervalo a un solo punto).

Es decir, estaremos calculando la derivada (variación) de la función en un punto.

Si queremos calcularla en algún punto específico de la función, como el punto , solo tendríamos que sustituirlo en la expresión:

Interpretación geométrica de la derivada.

La derivada tiene una interpretación geométrica sencilla. 

La derivada de la función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Es decir, la pendiente de la recta que es tangente al intervalo (punto) en el que estamos calculando la derivada.

La pendiente de una recta es su inclinación y se calcula como el desplazamiento vertical entre el horizontal. La pendiente de la recta que pasa por los puntos se calcula como:

Si aplicamos el límite, transformando este intervalo en un punto único, tenemos que:

Ejercicios resueltos.

1. Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones:

a)

b)

Solución

a) Aplicamos la definición de derivada a

Operamos y aplicamos el límite en el último paso:

b) Aplicamos la definición de derivada a

Operamos y aplicamos el límite en el último paso:

 

2. Calcula la derivada de la función en x=3 utilizando la definición de derivada:

Solución

Aplicamos la definición de la derivada a la función f(x):

Una vez calculada la derivada sustituimos en el punto indicado:

 

3. Aplicando la definición de derivada, calcula la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=3.

Solución

En primer lugar, calculamos la derivada de la función:

Como sabemos, la derivada de la función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

Por tanto:

 

Vídeo complementario