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La integración por partes es uno de los métodos de resolución utilizado para resolver integrales no inmediatas.
Se suele aplicar cuando queremos integrar la multiplicación/división de dos funciones de distinto tipo.
1.Fórmula
Se utiliza la siguiente fórmula:
“Un día vi una vaca (sin rabo) vestida de uniforme”
¿Cómo funciona?
El objetivo de la fórmula es identificar el producto de dos funciones que no sabemos integrar.
Y sustituirlo por una expresión simplificada que sí podremos operar e integrar.
Podemos observar que en la fórmula aparecen dos funciones diferentes ( 
) con sus derivadas correspondientes (
).
Identificaremos las dos funciones iniciales que queremos integrar con 
según corresponda (ahora lo veremos), derivaremos la 
para obtener 
, integraremos 
para obtener 
y sustituiremos en la fórmula para después operar y resolver.
Vamos a ir desarrollando el método paso a paso con un ejemplo práctico, para que sea más intuitivo.
Ejemplo: Resolver la siguiente integral.
1. Lo primero que debemos hacer, siempre que vayamos a integrar una función, es preguntarnos si es inmediata o casi inmediata.
En este caso podemos ver claramente que no lo es. La 
que tenemos delante de 
no corresponde a la derivada de la función implícita, de modo que no podríamos resolverla como una integral inmediata.
Sería inmediata si la función fuese la siguiente:
En este caso la si corresponde a la derivada de la función implícita 
de 
.
Al ser un producto de dos tipos diferentes de funciones sabemos que es una integral por partes.
2. Escribimos la fórmula.
“Un día vi una vaca (sin rabo) vestida de uniforme”
3. Identificamos las dos funciones que queremos integrar con y respectivamente. ¿Cómo se elige cuál es cuál? Seguiremos la regla de Alpes, que indica, siguiendo las letras de la palabra “ALPES”, un orden de prioridad para identificar una de las funciones con la de la fórmula.
La función que aparece antes, se identifica con .
ALPES
A= Arcotangente, arcoseno, arcocoseno.
L= Logarítmicas
P= Polinómicas.
E= Exponenciales.
S= Senos, cosenos.
En este caso, tenemos una exponencial y una polinómica . Como la polinómica tiene prioridad sobre la exponencial (aparece antes) será la . La exponencial será, por descarte, .
4. Derivamos o integramos como corresponde para obtener el resto de los términos de la fórmula.
Cuando tenemos un diferencial (
) en la igualdad debe aparecer el diferencial de la variable (
).
5. Sustituimos en la fórmula y resolvemos.
Sustituimos:
Resolvemos:
1. Resolver la siguiente integral por partes:
Solución
Escribimos la fórmula y utilizamos el criterio de ALPES para identificar 
y calcular los demás términos.
ALPES
A= Arcotangente, arcoseno, arcocoseno.
L= Logarítmicas
P= Polinómicas.
E= Exponenciales.
S= Senos, cosenos.
Calculamos todos los términos de la fórmula:
Sustituimos en la ecuación:
Si nos fijamos, la integral a resolver 
vuelve a ser una integral por partes que hemos resuelvo en el primer ejemplo de esta página. Sustituimos y resolvemos.
Resolvemos:
2. Resolver la siguiente integral por partes:
Solución
Escribimos la fórmula y utilizamos el criterio de ALPES para identificar y calcular los demás términos.
ALPES
A= Arcotangente, arcoseno, arcocoseno.
L= Logarítmicas
P= Polinómicas.
E= Exponenciales.
S= Senos, cosenos.
Calculamos todos los términos de la fórmula:
Sustituimos:
Resolvemos:
3. Resolver la siguiente integral:
Solución
Escribimos la fórmula y utilizamos el criterio de ALPES para identificar y calcular los demás términos.
ALPES
A= Arcotangente, arcoseno, arcocoseno.
L= Logarítmicas
P= Polinómicas.
E= Exponenciales.
S= Senos, cosenos.
Calculamos todos los términos de la fórmula:
Sustituimos:
Operamos:
Resolvemos:
4. Resolver la siguiente integral:
Solución
Escribimos la fórmula y utilizamos el criterio de ALPES para identificar y calcular los demás términos.
ALPES
A= Arcotangente, arcoseno, arcocoseno.
L= Logarítmicas
P= Polinómicas.
E= Exponenciales.
S= Senos, cosenos.
Calculamos todos los términos de la fórmula:
Sustituimos:
Resolvemos:
5. Resolver la siguiente integral: ¡Va a ser cíclica!
Solución
Cuando nos encontramos con una integral por partes formada por una exponencial y una trigonométrica debemos tener mucho cuidado: Va a ser cíclica. Vamos a verlo:
Escribimos la fórmula y utilizamos el criterio de ALPES para identificar y calcular los demás términos.
ALPES
A= Arcotangente, arcoseno, arcocoseno.
L= Logarítmicas
P= Polinómicas.
E= Exponenciales.
S= Senos, cosenos.
Calculamos todos los términos de la fórmula:
Sustituimos:
Nos encontramos con que la última integral 
vuelve a ser por partes. Aplicamos de nuevo la fórmula y resolvemos
Sustituimos:
Volvemos a encontrarnos con una integral por partes que resulta ser la integral de la que partimos: 
. No podemos seguir, estaríamos dando vueltas en círculos.
Llevamos este resultado a la primera integral y evaluamos el resultado:
Tenemos, a ambos lados de la igualdad, la expresión 
, podemos tomarla como una incógnita en sí, agruparla y despejar:
Ya la hemos resuelto.