Continuidad de funciones

Continuidad de una función.

Una función es continua cuando podemos dibujarla de un solo trazo, es decir, sin levantar el bolígrafo.

Matemáticamente, se dice que una función es continua en un punto cuando:

Este teorema nos permite razonar si una función es continua en un punto. Como las funciones cuentan con infinitos puntos, para estudiar la continuidad de una función tendremos que identificar en primer lugar los puntos en los que la función puede presentar problemas de continuidad y aplicar el teorema sobre ellos.

Tipos de discontinuidad.

Cuando no se cumple este teorema, podemos encontrarnos con tres tipos distintos de discontinuidad:

1. Discontinuidad de salto finito.

Como los límites laterales son diferentes y tienen un valor finito, la función presenta un salto finito en este punto.

2. Discontinuidad de salto infinito.

Los límites laterales son diferentes y valen , la función presenta un salto infinito en este punto. Es el caso de las asíntotas.

3. Discontinuidad evitable.

Los límites laterales son iguales pero el valor de la función en el punto es diferente, la función presenta un “agujero” que la hace discontinua.

Ejercicios resueltos de continuidad.

1.  Estudiar la continuidad de la siguiente función:

Solución

En primer lugar, analizamos los puntos en los cuales la función puede presentar problemas de discontinuidad:

En el primer intervalo la función racional (fracción) presentará una discontinuidad de salto infinito en el valor x=2 por anular el denominador. 

En el segundo intervalo, la función podría presentar una discontinuidad en el punto x=3/2 por anular el denominador. Al no estar definido en su dominio, , el tramo no presenta discontinuidad.

Además, la función podrá presentar una discontinuidad en el punto , por ser el punto en el que conectan ambos tramos.

Estudiamos la continuidad de la función en el punto :

Por tanto, la función es continua en todos los puntos excepto en:

, punto en el que presenta una discontinuidad de salto infinito.

, punto en el que presenta una discontinuidad de salto finito.

2. Calcular los valores de a y b para que la función sea continua:

Solución

En primer lugar, analizamos los puntos en los cuales la función puede presentar problemas de discontinuidad:

Todos los tramos son continuos por tratarse de polinomios.

Los únicos puntos en los que puede presentar problemas de continuidad son los puntos en los que se unen los tramos:

Estudiamos la continuidad en

Para que sea continua en este punto:

 

Estudiamos la continuidad en

Para que sea continua en este punto: 

 

3. Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Solución

En primer lugar, analizamos los puntos en los cuales la función puede presentar problemas de discontinuidad:

El primer tramo es continuo dado que no hay valor que anule el denominador.

Los otros dos tramos son continuos por tratarse de polinomios.

Los únicos puntos en los que puede presentar problemas de continuidad son los puntos en los que se unen los tramos:

Estudiamos la continuidad en

Para que sea continua en este punto: 

Estudiamos la continuidad en

La función es continua en todo su dominio siempre y cuando y

4. Calcula los valores de k para los cuales la siguiente función es continua:

Solución

¡Ojo! La función se separa en tramos utilizando , esto va alterar la forma en la que calculamos los límites laterales, los dos límites van a aplicarse en el mismo tramo.

La función solo puede presentar problemas de continuidad en el valor , aplicamos ahí la condición de continuidad.

La función será continua en todo su dominio siempre y cuando .

5. Estudiar la continuidad de la siguiente función con valor absoluto:

Solución

Al ser una función con valor absoluto, lo primero que tenemos que hacer es convertirla en una función a trozos:

La función solo puede presentar problemas de continuidad en el punto . 

La función es continua en todo su dominio.

Vídeos complementarios.