Derivabilidad de funciones

Derivabilidad de una función.

Una función es derivable cuando tiene una gráfica “suave”, es decir, no presenta picos y en todos sus puntos se puede dibujar una recta tangente. Para que una función sea derivable en un punto tiene que ser continua en ese punto

Matemáticamente, se dice que una función es derivable en un punto cuando:

Relación entre derivabilidad y continuidad.

Existe un teorema muy importante que relaciona la continuidad y la derivabilidad de funciones:

Si la función es derivable en un punto, es continua en ese punto. No se cumple al contrario. Es decir, si la función es continua en un punto, no tiene por qué ser derivable en ese punto:

Lo que sí que podemos deducir es: si la función es no continua en un punto, no es derivable en ese punto: 

Por tanto, en los ejercicios calculamos primero la continuidad. Si es no continua en un punto, podemos afirmar que tampoco es derivable. Si es continua en un punto, hay que calcular la derivabilidad.

Ejercicios resueltos.

1. Estudiar las continuidad y derivabilidad de la función en :

Solución

En primer lugar, deshacemos el valor absoluto y separamos la función en una función a trozos:

La función solamente puede presentar problemas de continuidad y derivabilidad en . Estudiamos su continuidad:

La función es continua en . Por tanto, puede que sea derivable. Estudiamos su derivabilidad:

 

Por tanto, la función es continua pero no derivable en .

2. Determinar el valor de a para que sea continua en . Para ese valor, estudiar su derivabilidad:

Solución

El primer tramo podría presentar problemas en el valor por anular el denominador, pero no pertenece a su dominio, .

Por tanto, la función solo presenta problemas de continuidad y derivabilidad en el valor . Estudiamos la continuidad en ese punto:

La función será continua en cuando .

Estudiamos su derivabilidad para ese valor:

La función es continua pero no derivable en .

3. Calcular el valor de para que sea continua y estudiar su derivabilidad:

Solución

La función solo puede presentar problemas de continuidad en :

La función será continua en si

Estudiamos la derivabilidad de la función en :

La función no es derivable en .

Vídeos complementarios.