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Estudiar la monotonía de una función consiste en identificar en qué intervalos la función crece o decrece. Para ello, vamos a estudiar el signo de la primera derivada de la función.
La derivada de una función representa su pendiente:
Ejemplo. Estudiar la monotonía de la siguiente función:
Calculamos la primera derivada:
Estudiamos su signo:
La función es decreciente en 
y creciente en 
.
Los extremos de una función 
son los puntos en los que su pendiente es igual a cero, al igual que su derivada 
. La función se vuelve horizontal. Tenemos varios tipos:
Los máximos y mínimos pueden ser considerados relativos o absolutos. Cualquier máximo se considera relativo pero el más grande de todos ellos (el más alto) es el que denominamos máximo absoluto. Lo mismo con los mínimos.
y sufre un cambio de pendiente, pero su monotonía continúa igual, es decir, sigue creciendo o decreciendo, según el caso.
Para calcular el tipo de extremo que presenta una función, basta con estudiar la variación de su monotonía en los puntos en los que la primera derivada vale cero.
1. Calcular la monotonía y extremos de la siguiente función:
Solución
Calculamos su derivada y estudiamos el signo:
La función es creciente en el intervalo: 
La función es decreciente en el intervalo: 
La función presenta extremos relativos en los puntos: 
y 
.
En presenta un máximo (crece y decrece). El máximo es el punto 
En presenta un mínimo (decrece y crece). El mínimo es el punto
2. Calcular los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos de la siguiente función:
Solución
Estudiamos el signo de la primera derivada:
La función es creciente en el intervalo 
.
La función es decreciente en los intervalos 
.
La función presenta un mínimo absoluto en el punto 
.
La función presenta un máximo absoluto en el punto 
.
3. Estudia la monotonía y los extremos de la función:
Solución
Estudiamos el signo de la derivada:
La función es creciente en el intervalo 
.
La función es decreciente en el intervalo 
.
La función presenta un punto de silla en el punto 
. Se anula su pendiente y su derivada, pero sigue creciendo.
La función presenta un máximo en el punto 
. La función pasa de crecer a decrecer.
4. Sea la función 
, calcular a y b para que la función tenga un extremo en el punto 
. Calcular los extremos de la función para 
y 
.
Solución
Si la función tiene un extremo en el punto 
se cumple que:
Calcular los extremos de la función para 
y 
:
Calculamos la derivada y estudiamos el signo:
La función presenta un mínimo en el punto 
.
5. Determina los valores de a, b y c sabiendo que la función 
tiene extremos relativos en y 
y que corta a su función derivada en 
. Determina la naturaleza de los extremos.
Si la función tiene extremos relativos en y se cumple que:
Si la función corta a su función derivada en :
Si resolvemos el sistema tenemos que:
Estudiamos el signo de la derivada:
La función es creciente en el intervalo 
.
La función es decreciente en el intervalo 
.
La función presenta un máximo en el punto 
.
La función presenta un mínimo en el punto 