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El teorema de Rouché-Frobenius nos permite diferenciar el tipo de sistema que tenemos delante mediante el estudio de los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
El teorema dice que "La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada".
Si Rg(A) ≠ Rg (A*), el Sistema es Incompatible (SI) y no tiene solución.
Si Rg(A) = Rg (A) = número de incógnitas, el Sistema es Compatible Determinado (SCD) y tiene una única solución. Es decir, si el número de filas no nulas (independientes) coincide con el número de incógnitas.
Si Rg(A) = Rg (A*) < número de incógnitas, el Sistema es Compatible Indeterminado (SCI) y tiene infinitas soluciones. Es decir, si el número de filas no nulas es menor que el número de incógnitas.
Para discutir las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones se siguen los siguientes pasos:
1. Obtener las matrices A (coeficientes) y A*(ampliada).
2. Se calcula el rango de la matriz A.
3. Se calcula el rango de A*.
4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.
Ejercicio resuelto: Estudiaremos la solución o soluciones del siguiente sistema a modo de ejemplo:
Matriz de coeficientes (A) y matriz de términos independientes (B):
Juntas forman la matriz ampliada (A*):
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes no es nulo, podemos confirmar que su rango es 3.
En este caso, como la matriz A es una matriz cuadrada inscrita en la matriz A* y su determinante no es nulo, podemos afirmar que el rango de A* también será máximo, que, en este caso, es igual a 3.
Por lo que estamos ante un Sistema Compatible Determinado ya que el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada coinciden y son iguales al número de incógnitas del sistema.
1. Estudiar las soluciones del siguiente sistema en función del parámetro “a”:
Solución
La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:
En este caso, el máximo rango que pueden tener ambas matrices es 3. Vamos a comenzar por aquella matriz que sea cuadrada, en este caso la matriz cuadrada es la matriz de los coeficientes (A). Calculamos el rango de A:
Cogemos ahora una matriz de 2x2:
Una vez conocemos el rango de A, calculamos el rango de la matriz ampliada escogiendo una de sus submatrices de 3x3:
Igualamos a cero el determinante para hallar los valores del parámetro “a” que hacen que valga cero:
Por tanto, hay que distinguir dos casos:
Caso 1: Cuando 
Rg(A) ≠ Rg(A*) ya que Rg(A) = 2 y Rg(A*) = 3, por lo que el sistema es incompatible y no tiene solución
Caso 2: Cuando 
Se cumple que Rg(A) = Rg(A*) = 2 < número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
2. Discutir, con la ayuda del Teorema de Rouché-Frobenius el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución
Comenzamos expresando matricialmente el sistema mediante la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
En este caso, el máximo rango que pueden tener ambas matrices es 3. Vamos a comenzar por aquella matriz que sea cuadrada, en este caso la matriz cuadrada es la matriz de los coeficientes (A). Calculamos el rango de A:
Como el rango de la matriz de coeficientes de dimensiones 3x3 no es nulo, podemos decir que el rango de A es 3. Y, dado que A es una matriz cuadrada inscrita dentro de la matriz ampliada A*, también podemos afirmar que el rango de A* es 3.
Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, como coinciden el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada y, además, son iguales al número de incógnitas, se trata de un Sistema Compatible Determinado con una única solución.
3. Discutir, con la ayuda del Teorema de Rouché-Frobenius, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución
Comenzamos expresando matricialmente el sistema mediante la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
En este caso, el máximo rango que pueden tener ambas matrices es 3. Vamos a comenzar por aquella matriz que sea cuadrada, en este caso la matriz cuadrada es la matriz de los coeficientes (A). Calculamos el rango de A:
Como el determinante de A es nulo, confirmamos que el rango de A es menor de 3 y pasamos a estudiar los determinantes de las submatrices de 
:
El primero que calculamos nos da un resultado distinto de cero por lo que podemos afirmar que el rango de A es 2 sin necesidad de seguir calculando. Si nos hubiera dado cero, habríamos seguido calculando determinantes hasta encontrar uno no nulo o hasta confirmar que todos son nulos, si fuera el caso.
Dicho determinante es también un menor de orden 2 de A*, por lo que, el rango de A será igual o mayor que dos. Vamos a estudiarlo:
Escogemos una matriz cuadrada de mayor orden posible dentro de A* (que no coincida con A, que ya sabemos que es 0):
Como todos los determinantes de 3x3 son nulos, podemos afirmar que el rango de A* es 2. Por lo tanto, el rango de A y A* coinciden y su valor es menor al número de incógnitas, por lo que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado.
4. Determinar los valores de a para los que el sistema tiene solución. Calcula las soluciones en los casos posibles.
Solución
Debemos estudiar los valores de a para los que el sistema tiene solución, lo resolvemos según Rouché – Frobenius.
Siempre comenzamos calculando el rango de la matriz cuadrada, para luego comparar ambos rangos y definir la compatibilidad del sistema.
Estudiamos el Rango de la matriz ampliada 
, que es la matriz cuadrada, y calculamos los valores de a que anulan el determinante:
Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:
Si 
Tenemos un sistema incompatible.
Si 
Sustituimos el sistema:
El determinante de la matriz ampliada es nulo, buscamos un menor de orden dos distinto de cero para ver si el rango de vale 2.
También se cumple para la matriz A
El sistema es compatible determinado. Hay dos incógnitas para dos ecuaciones. Podríamos resolverlo
Si 
El determinante de la matriz ampliada es nulo, buscamos un menor de orden dos distinto de cero para ver si el rango de vale 2.
Cuando calculamos el rango de A, vemos que todas las filas/columnas son proporcionales, por tanto no encontramos un determinante de orden dos diferente de cero:
Tenemos un sistema incompatible.
En resumen:
5. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución:
Solución
Lo haremos por el método de Rouché Frobenius.
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a:
Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:
Si 
:
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Si 
:
La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero:
El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones.
Si 
:
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante:
Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:
La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila.
Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2.
El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible.
En resumen:
