Teorema de Rouché - Frobenius

Introducción

El teorema de Rouché-Frobenius nos permite diferenciar el tipo de sistema que tenemos delante mediante el estudio de los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

Teorema de Rouché-Frobenius

El teorema dice que "La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada".

• Si Rg(A) ≠ Rg (A*), el Sistema es Incompatible (SI) y no tiene solución.

   

• Si Rg(A) = Rg (A) = número de incógnitas, el Sistema es Compatible Determinado (SCD) y tiene una única solución. Es decir, si el número de filas no nulas (independientes) coincide con el número de incógnitas.

   

• Si Rg(A) = Rg (A*) < número de incógnitas, el Sistema es Compatible Indeterminado (SCI) y tiene infinitas soluciones. Es decir, si el número de filas no nulas es menor que el número de incógnitas.

Discusión de las soluciones de un sistema

Para discutir las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones se siguen los siguientes pasos:

1. Obtener las matrices A (coeficientes) y A*(ampliada).

2. Se calcula el rango de la matriz A.

3. Se calcula el rango de A*.

4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Ejercicio resuelto: Estudiaremos la solución o soluciones del siguiente sistema a modo de ejemplo:

Matriz de coeficientes (A) y matriz de términos independientes (B):

Juntas forman la matriz ampliada (A*):

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

Dado que el determinante de la matriz de coeficientes no es nulo, podemos confirmar que su rango es 3. 

En este caso, como la matriz A es una matriz cuadrada inscrita en la matriz A* y su determinante no es nulo, podemos afirmar que el rango de A* también será máximo, que, en este caso, es igual a 3.

Por lo que estamos ante un Sistema Compatible Determinado ya que el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada coinciden y son iguales al número de incógnitas del sistema.

Ejercicios resueltos

1. Estudiar las soluciones del siguiente sistema en función del parámetro “a”:

Solución

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son: 

En este caso, el máximo rango que pueden tener ambas matrices es 3. Vamos a comenzar por aquella matriz que sea cuadrada, en este caso la matriz cuadrada es la matriz de los coeficientes (A). Calculamos el rango de A:

Cogemos ahora una matriz de 2x2:

Una vez conocemos el rango de A, calculamos el rango de la matriz ampliada escogiendo una de sus submatrices de 3x3:

Igualamos a cero el determinante para hallar los valores del parámetro “a” que hacen que valga cero:

Por tanto, hay que distinguir dos casos: 

Caso 1: Cuando

Rg(A) ≠ Rg(A*) ya que Rg(A) = 2 y Rg(A*) = 3, por lo que el sistema es incompatible y no tiene solución



Caso 2: Cuando

Se cumple que Rg(A) = Rg(A*) = 2 < número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

 

2. Discutir, con la ayuda del Teorema de Rouché-Frobenius el siguiente sistema de ecuaciones: