Matriz Inversa: Método Gauss - Jordan

Introducción

Sea A una matriz de orden . Si existe una matriz B tal que , se dice que A es invertible y, en tal caso la matriz B se denomina inversa de A y se denota por A−1. 

No todas las matrices de orden n tienen inversa. La condición necesaria y suficiente para que una matriz de orden n tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. 

Propiedades:

• La inversa de la matriz inversa es la propia matriz. 

• Si dos matrices admiten inversa, la inversa del producto es el producto de las inversas cambiado de orden. 

• La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa. 

  

Cálculo de la matriz inversa por el método Gauss-Jordan

El método de Gauss‐Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales. 

Dada una matriz A cuadrada de dimensión y regular, definimos la matriz por bloques formada por A y la matriz I (matriz identidad de dimensión). Vamos a ver el ejemplo con una matriz de

El objetivo es conseguir que la matriz identidad quede en el lado opuesto que el de partida. Al terminar las operaciones, la matriz identidad que había en el lado derecho se ha transformado en otra matriz B. Esta matriz B es precisamente la matriz inversa de A. Para calcular la matriz inversa de A, se realizan operaciones elementales entre las filas para conseguir:

Llamaremos operaciones elementales fila (sobre una matriz) a las siguientes operaciones: 

• Multiplicar una fila por un número distinto de 0.

• Sumar (o restar) a una fila, el múltiplo de otra fila.

• Intercambiar el orden de las filas.

Veamos un ejemplo del cálculo de la matriz inversa por el método Gauss-Jordan de la siguiente matriz

Ejercicios resueltos

1. Calcula la matriz inversa de esta matriz por el método de Gauss-Jordan:

Solución

 

 

2. Calcula la matriz inversa de esta matriz por el método Gauss-Jordan:

Solución

 

 

3. Calcula la matriz inversa de esta matriz por el método de Gauss-Jordan:

Solución