Potencias de una matriz

Potencia de una matriz

Sólo se puede calcular potencias de una matriz cuando esta es cuadrada, es decir, cuando tiene el mismo número de filas que de columnas.

Para calcular la potencia de una matriz, debemos multiplicar la matriz por ella misma tantas veces como diga el exponente. 

Potencia enésima de una matriz

La potencia enésima de una matriz es una fórmula o expresión que nos permite calcular potencias de cualquier orden sin la necesidad de calcular todas las potencias anteriores.

Muchas veces las potencias de matrices siguen un patrón. Por tanto, si conseguimos descifrar la secuencia que siguen, podremos calcular cualquier potencia sin tener que hacer todas las multiplicaciones.

Para encontrar esta fórmula, tenemos que fijarnos en:

• La relación entre el exponente de la potencia y los elementos de la matriz. Por ejemplo, puede que algún elemento de la matriz sea el propio exponente.

• La paridad del exponente. Por ejemplo, puede ocurrir que las potencias pares sean de una forma y las impares de otra.

• Si hay distintos patrones. Por ejemplo, los exponentes múltiplos de un número pueden tener un patrón distinto a los que son múltiplos de otro.

• La variación de los signos. Por ejemplo, las potencias pares y las impares pueden cambiar de signos.

• Repetición. Por ejemplo, puede que haya varias matrices que se repiten consecutivamente.

En definitiva, para obtener la fórmula tenemos que observar las primeras potencias y emplear nuestra intuición. Normalmente, con el cálculo de las primeras 3 o 4 potencias, podremos deducir la fórmula.

Ejemplo: Calcular la potencia enésima de una matriz

Siendo A la siguiente matriz:

Primero vamos a calcular hasta A4 para intentar adivinar el patrón que siguen las potencias:

Comprobamos que las potencias de la matriz A siguen un patrón: a cada potencia todos los números permanecen igual, excepto el elemento de la segunda columna de la segunda fila, que se multiplica por 3. Por lo tanto, todos los números se quedan siempre igual y el último elemento es una potencia de 3:

Así que la fórmula de la potencia enésima de la matriz A es:

Ejercicios resueltos

1. Dada la matriz A, calcula .

Solución

Evidentemente, calcular la potenciación de la matriz A62 resulta un cálculo demasiado grande para hacerlo a mano, por tanto, las potencias de la matriz tienen que seguir un patrón. 

En este caso, calcularemos hasta A5 para poder averiguar la secuencia que siguen:

 

Con estos cálculos podemos ver que cada 3 potencias obtenemos la matriz identidad. Es decir, nos dará como resultado la matriz identidad las matrices A3, A6, A9, … 

Para saber cuanto vale aplicamos la siguiente división:

De esta manera razonamos que el ciclo se repite 20 veces y sobran 2, es decir, el resultado será:

También podemos explicarlo aplicando la regla de la división:

 

2. Sea A la siguiente matriz, calcula :

Solución

Calculamos unas cuantas potencias de A para encontrar una relación recurrente:

Sacamos la relación:

 

3. Calcula de la siguiente matriz:

Solución

Comenzamos calculando las primeras potencias de A hasta llegar a A4, ya que A8 puede descomponerse como el producto de A4 por sí misma.

 

4. Halla todas las matrices X de la siguiente forma:

Tales que:

Solución

 

Tenemos dos posibilidades:

Por lo tanto, la matriz X puede ser de dos formas: 

 

Vídeo complementario