Operaciones básicas con matrices

Concepto de matriz

Las matrices son una de las herramientas más usadas dentro del álgebra lineal. Se llama matriz de orden m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas, de la forma:

Las matrices se representan por letras mayúsculas y sus dimensiones o el orden nos dicen su tamaño: el número de filas y columnas de la matriz, en ese orden. Su dimensión viene dada por “filas x columnas”.

Por ejemplo, la matriz A tiene 2 filas y 3 columnas, escribimos sus dimensiones como , que se pronuncia "dos por tres".

En contraste, la matriz B tiene 3 filas y 2 columnas, así que es una matriz de 3x2.

Los elementos de la matriz (los números) se representan en general por aij, donde los subíndices (i,j) nos informan de la posición que ocupa el término:

Así, el término a13 es el elemento que está en la primera fila y en la tercera columna.

Tipos de matrices

Dentro de las matrices, trabajaremos habitualmente con algunos tipos concretos como son:

• Matriz cuadrada: si el número de filas es igual al número de columnas (m = n), la matriz es una matriz cuadrada. 

• Matriz fila: es aquella que sólo tiene una fila. 

• Matriz columna: es la que sólo tiene una columna.

• Matriz Identidad: es una matriz cuadrada llena de ceros (0) excepto en la diagonal principal, donde todos los elementos son unos (1).

• Matriz Nula: es aquella en la que todos sus elementos son cero. 

• Matriz traspuesta: la traspuesta de una matriz A es otra matriz At que se obtiene al intercambiar en A las filas por las columnas y las columnas por las filas.

• Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta (A = At).

• Matriz antisimétrica: matriz cuadrada que coincide con el valor negativo de su traspuesta (A = -At)

Suma y resta de matrices

Para poder sumar (o restar) matrices, deben tener la misma dimensión y el resultado es una matriz con las mismas dimensiones que las que se han sumado.

Si las dimensiones de dos matrices no son las mismas, la suma no está definida, es decir, no se puede hacer.

Dadas dos matrices A y B de dimensión , se define la suma de matrices (A + B) como aquella matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la misma posición:

La suma de matrices es una consecuencia de la suma de números reales, por lo que las propiedades de la suma de matrices serán las mismas que las de la suma de números reales: 

• Propiedad Asociativa:

  

• Elemento opuesto (–A):

• Propiedad Conmutativa: 

  

   

Producto de un número (escalar) por una matriz

El producto de un número real k por una matriz es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son los productos de los elementos de la matriz A por el número k:

Ejercicios resueltos

1. Dadas las matrices siguientes:

se pide calcular las siguientes operaciones:

a) A + B

b) At – C

Solución

a)

b)

 

2. Dadas:

halla dos números a y b para que se verifique que a · A + b · B = C.

Solución

 

Resolvemos el sistema por igualación:

 

3. Dadas las matrices:

Calcula:

a) A + B – 2C 

b) A – (Bt + C)

Solución

a)

b)

 

4. Dadas las matrices:

Calcula A – ½·B + C.

Solución

 

 

5. Dadas las siguientes matrices:

se pide calcular las siguientes operaciones: 

a) A · B

b) Bt· At 

c) (A +I3)2

Solución

a)

b)

c)

 

Vídeo complementario