Propiedades de los determinantes

Propiedades de los determinantes

Es muy importante manejar las propiedades de los determinantes para la resolución de ejercicios.

1. El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.

2. Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suma una combinación lineal de las otras filas, el determinante no varía.

3. El determinante es igual a 0 cuando todos los elementos de una fila o columna son 0.

4. El determinante de la matriz identidad es 1.

5. Cuando una matriz 𝐴 se multiplica por un escalar k, el determinante de la nueva matriz k𝐴 es igual al producto del determinante 𝐴 por la potencia de k elevado al número de filas n de la matriz cuadrada. 

6. Cuando se intercambian dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo.

Al cambiar la posición de la fila 1 y la fila 2:

7. El determinante de una matriz inversa es el valor inverso del determinante de la matriz original: 

8. Cuando dos filas o columnas de una matriz son iguales, el determinante de la matriz es 0.

9. Cuando una o varias filas o columnas son combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es 0.

10. El determinante de una matriz elevada n veces es su determinante elevado n veces:

12. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz:

13. Si todos los elementos de una fila (o columna) se pueden descomponer en dos sumandos, el determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen iguales.

Ejercicios resueltos

1. Se sabe que el determinante de la matriz A vale – 3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: 

a)

b)

Solución

a) Si A es una matriz cuadrada de orden n, se cumple que:

En nuestro caso, como A es una matriz de 3x3:

b)Transformamos la matriz aplicando la propiedad que dice que si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese mismo número.

Ahora aplicamos la propiedad que dice que, si se intercambian dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo.

 

2. Si A es una matriz cuadrada de orden 3 y , calcula indicando la propiedad utilizada:

a)

b)

c)

Solución

a) Aplicando la propiedad que dice que el determinante de una matriz elevada n veces es su determinante elevado n veces:

b) Aplicando la propiedad que dice que cuando una matriz 𝐴 se multiplica por un escalar k, el determinante de la nueva matriz k𝐴 es igual al producto del determinante 𝐴 por la potencia de k elevado al número de filas n de la matriz cuadrada: 

c) Aplicando la propiedad que dice que el determinante de una matriz inversa es el valor inverso del determinante de la matriz original:

 

3. Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 tales que . Halla cuando sea posible el valor de los siguientes determinantes: 

a)  

b)

c)

Solución

a) Aplicando la propiedad de que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz:

b)

c) El valor de |A + B| no puede saberse. No se cumple que:

 

4. Se sabe que el determinante de la matriz A es 3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a)

b)

c)

d)

Solución

a) Aplicando la propiedad que dice que el determinante de una matriz elevada n veces es su determinante elevado n veces, en este caso, 3 veces:

b) La matriz A es simétrica por lo que A = At:

A es una matriz cuadrada de orden 3 y hay una propiedad que dice que cuando una matriz 𝐴 se multiplica por un escalar k, en este caso, 2, el determinante de la nueva matriz 2𝐴 es igual al producto del determinante 𝐴 por la potencia de 2 elevado al número de filas n de la matriz cuadrada, que, en este caso, son 3:

c) Aplicando la propiedad que dice que si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese mismo número.

A continuación, teniendo en cuenta la propiedad de que cuando se intercambian dos filas o columnas de una matriz, el determinante de la nueva matriz es el producto de (-1) por el determinante de la matriz anterior, es decir, cambia de signo:

d) Aplicando la propiedad que dice que si todos los elementos de una fila (o columna) se pueden descomponer en dos sumandos, el determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen iguales:

Después, aplicando la propiedad que dice que si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese mismo número.

Por último, usaremos la propiedad que dice que, si una o varias filas o columnas de un determinante son iguales, su valor es 0.

 

5. Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es 2.

Calcula:

a) El determinante de 2Mt (Mt es la matriz traspuesta de M).

b) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.

Solución

a) Si M es una matriz cuadrada de orden 3, se cumple la propiedad que dice que el determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.

Por otra parte, aplicando la propiedad que dice que cuando una matriz 𝐴 se multiplica por un escalar k, el determinante de la nueva matriz k𝐴 es igual al producto del determinante 𝐴 por la potencia de k elevado al número de filas n de la matriz cuadrada: 

b) Aplicando la propiedad que dice que, si en un determinante se intercambian dos filas o columnas, este cambia de signo:

 

Vídeo complementario