Propiedades de los determinantes

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
13 de febrero 2025

Propiedades de los determinantes

 

1. El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original:

Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes

2. Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suma una combinación lineal de las otras filas, el determinante no varía:

Propiedades de los determinantes

3. El determinante es igual a 0 cuando todos los elementos de una fila o columna son 0:

 

4. El determinante de la matriz identidad es 1:

Propiedades de los determinantes

5. Cuando una matriz 𝐴 se multiplica por un escalar k, el determinante de la nueva matriz k𝐴 es igual al producto del determinante 𝐴 por la potencia de k elevado al número de filas n de la matriz cuadrada:

Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes

6. Cuando se intercambian dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo:

Propiedades de los determinantes

Al cambiar la posición de la fila 1 y la fila 2:

Propiedades de los determinantes

7. El determinante de una matriz inversa es el valor inverso del determinante de la matriz original: 

Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes

8. Cuando dos filas o columnas de una matriz son iguales, el determinante de la matriz es 0:

Propiedades de los determinantes

9. Cuando una o varias filas o columnas son combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es 0:

Propiedades de los determinantes

10. El determinante de una matriz elevada n veces es su determinante elevado n veces:

Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes

12. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz:

Propiedades de los determinantes
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Propiedades de los determinantes

13. Si todos los elementos de una fila (o columna) se pueden descomponer en dos sumandos, el determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen iguales:

Propiedades de los determinantes

 

Ejercicios resueltos

1. Se sabe que el determinante de la matriz A vale – 3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: 

Propiedades de los determinantes

a) Propiedades de los determinantes

b) Propiedades de los determinantes

Solución

a) Si A es una matriz cuadrada de orden n, se cumple que:

Propiedades de los determinantes

En nuestro caso, como A es una matriz de 3x3:

Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes

b)Transformamos la matriz aplicando la propiedad que dice que si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese mismo número.

Propiedades de los determinantes

Ahora aplicamos la propiedad que dice que, si se intercambian dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo.

Propiedades de los determinantes