Calcular el rango de una matriz por Gauss

Introducción

El rango de una matriz es el número de filas o columnas independientes de la matriz. 

Uno de los métodos para calcular el rango de una matriz es el método de Gauss. El método intenta averiguar cuantas filas son independientes a base de hacer ceros. Consiste en transformar la matriz en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros.

Cálculo del rango de una matriz por el método Gauss

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Vamos a ir seleccionando filas sucesivamente y hacer ceros hasta conseguir una matriz diagonal, con ceros en las siguientes posiciones:

2. Seleccionamos una fila para combinarla con las demás y hacer una columna de ceros. Para ello aplicamos una combinación lineal con las filas que queremos modificar.

3. Una vez hemos conseguido hacer ceros en la primera columna, seleccionamos la siguiente fila y repetimos el proceso en la siguiente columna. Para que sea más cómodo, cambiamos de orden las filas. Resulta más útil utilizar filas con el elemento 1 para hacer ceros.

4. Hemos obtenido una matriz diagonal, con elementos distintos de cero en todas las filas. Por tango, el rango de la matriz es igual a 3, como el número de filas independientes que tiene.

Ejercicios resueltos

1. Hallar el rango de la siguiente matriz  utilizando el método de Gauss:

Solución

Comenzamos a realizar operaciones con el objetivo de conseguir ceros en las filas y columnas:

Hacemos cero en la tercera fila para conseguir la matriz escalonada

Hemos obtenido una matriz escalonada equivalente a B y que tiene 3 filas no nulas, por tanto, el rango de B es 3.

 

2. Calcular el rango de la siguiente matriz por el método Gauss

Solución

Para facilitar las operaciones, sustituimos la primera fila por la tercera y la utilizamos para hacer ceros:

Aplicamos combinaciones lineales para hacer ceros en la primera columna

Utilizamos combinación lineal para obtener el último cero y diagonalizar, ya se puede ver que las dos últimas filas son iguales:

La nueva matriz es una matriz escalonada equivalente a A y que tiene 2 filas no nulas, por lo tanto, el rango de (A) = 2.

 

3. Calcular el rango de la siguiente matriz  utilizando el método de Gauss.

Solución

Utilizamos la primera fila para hacer ceros:

Observamos que la 3ª fila son todo ceros por lo que el rango de A, que es una matriz de , es 2. 

 

4. Discutir, según el valor de a, el rango de la matriz 

Solución

Comenzamos a realizar operaciones con el objetivo de conseguir ceros en las filas y columnas:

El rango de la matriz depende de que valga cero o no:

Caso 1:

En este caso, una de las 3 filas es nula, por lo que el rango de A es 2.

Caso 2:

En este caso, ninguna de las 3 filas es nula, por lo que el rango de A es 3.

 

5. Estudiar el rango de la matriz A en función del parámetro m:

Solución

Como es una matriz rectangular que depende de un parámetro, la forma más sencilla de estudiar su rango es aplicar el método de Gauss:

Aplicamos estas combinaciones lineales para hacer ceros en la primera columna

Hacemos ceros en la segunda columna:

Evaluamos para qué valores de m las filas valen cero. Estudiamos el rango de la matriz en función de m:

Si Las tres filas tienen valores diferentes de cero.

Si Tiene dos filas con valores diferentes de cero.

Si Tiene una fila con valores diferentes de cero.

 

Vídeo complementario