Calcular el rango de una matriz por determinantes

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

El rango de una matriz es el número de filas o columnas independientes de la matriz. Podemos calcular el rango de una matriz a través de su determinante.

Si el determinante asociado a una matriz es distinto de cero, implica que sus filas o columnas son linealmente independientes. Por tanto, si el determinante de una matriz 3x3 es distinto de cero, implica que sus tres filas son independientes y el rango de la matriz es igual a 3.

Si el determinante de una matriz es igual a cero, implica que sus filas o columnas son dependientes. Por tanto, deberemos estudiar los determinantes de orden inferior. Es decir, si el determinante de una matriz 3x3 vale cero, sus tres filas presentan dependencia y el rango no podrá ser 3, pero sí 1 o 2. Estudiaremos todos los determinantes de orden 2 que se pueden formar en la matriz, si alguno de ellos es distinto de cero, el rango de la matriz valdrá 2.

Para estudiar el rango de matrices nos basaremos en estas frases clave: 

• “El rango de una matriz es el orden del determinante distinto de cero más grande que puedas formar.”

• “Si los todos los menores de un determinado orden son cero, también lo son los de órdenes superiores”.

   

Ejemplo resuelto: Calcular el rango de una matriz por determinantes:

1. Comprobamos que, a simple vista, ninguna fila o columna se puede descartar.

2. Como se trata de una matriz cuadrada de 3x3, el rango puede ser de 3. Calculamos el determinante de la matriz:

El determinante de 3x3 es nulo, por lo que sus filas presentan dependencia y el rango es menor que 3, puede ser 1 ó 2.

3. Estudiamos los determinantes de orden 2 que se pueden formar dentro de la matriz y buscamos alguno que sea distinto de cero.

Como el determinante de orden 2 es diferente de cero, significa que el rango de la matriz vale dos. Hay dos filas independientes en la matriz.

Si todos los determinantes de orden 2 hubieran valido cero, significa que el rango de la matriz vale 1, es decir, solo hay una fila independiente

Ejercicios resueltos

1. Calcular el rango de la matriz:

Solución

Se trata de una matriz cuadrada de orden 3, por lo que su rango máximo puede ser 3. Comenzamos calculando el determinante de la matriz cuadrada de mayores dimensiones, que, en este caso, coincide con el propio determinante de A:

El determinante de la matriz es nulo por lo que podemos confirmar que el rango de la matriz va a ser menor de 3, algo que podríamos haber conocido sin necesidad de calcular el determinante ya que podemos observar que existe una columna entera de ceros.

Procedemos a calcular los determinantes de las submatrices cuadradas de orden 2, como, por ejemplo:

Vemos que todos ellos vuelven a ser nulos, por lo que ya podemos afirmar que el rango de la matriz es menor que 2, es decir, 1, porque para ser cero, todos los elementos deberían ser cero, cosa que no ocurre.

 

2. Calcula el rango de la siguiente matriz:

Solución

Se trata de una matriz cuadrada de orden 3, por lo que su rango máximo puede ser 3. Comenzamos calculando el determinante de la matriz cuadrada de mayores dimensiones, que, en este caso, coincide con el propio determinante de A:

Dado que el determinante de 3x3 no es nulo, podemos afirmar que las 3 filas y columnas son linealmente independientes y el rango es 3.

 

3. Calcula el rango de la siguiente matriz:

Solución

Se trata de una matriz de 3x2 por lo que su máximo rango puede ser 2. Comenzamos calculando los determinantes de las matrices cuadradas de mayor dimensión que se encuentren inscritas en la matriz, en este caso, 2x2. Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será de 2.

Con encontrar un determinante 2x2 distinto de cero, podemos afirmar que el rango es 2. Si todos valieran cero, entonces el rango habría sido 1.

 

4. Calcula el rango de la siguiente matriz:

Solución

Se trata de una matriz de 3x4 por lo que su máximo rango puede ser 3. Comenzamos calculando los determinantes de las matrices cuadradas de mayor dimensión que se encuentren inscritas en la matriz, en este caso, 3x3.

Como todos los determinantes de 3x3 son nulos, podemos afirmar que el rango de A es menor de 3 y procedemos a calcular los determinantes de orden menor, es decir, de 2x2.

El primer determinante de 2x2 que hemos calculado ya nos ha dado un resultado distinto de cero, por lo que podemos confirmar que el rango de A es 2 sin necesidad de calcular el resto. Si nos hubiera dado cero, habríamos seguido calculando el resto de los determinantes hasta encontrar uno distinto de cero o confirmar que todos son nulos.

 

5. Calcula el rango de la siguiente matriz:

Solución

Se trata de una matriz cuadrada de orden 3, por lo que su rango máximo puede ser 3. Comenzamos calculando el determinante de la matriz cuadrada de mayores dimensiones, que, en este caso, coincide con el propio determinante de A:

Dado que el determinante de 3x3 no es nulo, podemos afirmar que las 3 filas y columnas son linealmente independientes y el rango es 3.

 

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