Resolución de sistemas compatibles determinados

Introducción

Como ya sabemos, un Sistema Compatible Determinado es aquel que solo tiene una única solución. 

A dicha solución podemos llegar por varios caminos, en el caso de los sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, vamos a ver dos: la resolución por Gauss y por Cramer.

Resolución por Gauss

El método de Gauss puede utilizarse para discutir las posibles soluciones de un sistema, pero también para resolverlo.

Resolver un sistema utilizando el método de Gauss es relativamente sencillo una vez que se ha discutido el sistema y ya se ha escalonado la matriz ampliada, basta con despejar la última incógnita e ir sustituyendo en las ecuaciones para obtener el valor del resto de incógnitas.

Ejercicio resuelto: Resolución de un SCD por Gauss

Procedemos, igual que con todos los sistemas, a expresarlo de forma matricial:

Vamos a proceder ahora a discutirlo mediante transformaciones elementales hasta conseguir una matriz escalonada, igual que hacíamos a la hora de estudiar el rango de una matriz por Gauss.

En este caso, ya hemos confirmado que se trata de un SCD ya que tenemos la siguiente igualdad:

A partir de este paso, podemos despejar la incógnita z y, sustituyendo en el resto de las ecuaciones, encontrar la solución del sistema:

Solución:

Resolución por Cramer

Para resolver un sistema compatible determinado mediante la regla de Cramer debemos seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes.

2. Calcular los determinantes de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de términos independientes.

3. Sustituir en las fórmulas y obtener los valores de las incógnitas.

Ejemplo resuelto: Resolución de un SCD por Cramer

Damos por estudiado el sistema y confirmado que se trata de un Sistema Compatible Determinado.

Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:

Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.

Solución:

Ejercicios resueltos

1. Discutir las posibles soluciones del siguiente sistema y después resuélvelo con ayuda de la regla de Cramer:

Solución

Utilizaremos el teorema de Rouché-Frobenius para estudiar las posibles soluciones del sistema:

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

En este caso, el máximo rango que pueden tener ambas matrices es 3. Vamos a comenzar por aquella matriz que sea cuadrada, en este caso la matriz cuadrada es la matriz de los coeficientes (A). Calculamos el rango de A:

Como el rango de la matriz de coeficientes de dimensiones 3x3 no es nulo, podemos decir que el rango de A es 3. Y, dado que A es una matriz cuadrada inscrita dentro de la matriz ampliada A*, también podemos afirmar que el rango de A* es 3. 

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, como coinciden el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada y, además, son iguales al número de incógnitas, se trata de un Sistema Compatible Determinado con una única solución.

Una vez confirmado que es un SCD, ya podemos resolver por Cramer. A continuación, calculamos el determinante de A y de las matrices resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.