Introducción a sistemas: Compatibilidad

Introducción y expresión matricial de un sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

Una buena idea a la hora de resolver sistemas de ecuaciones es sustituir los sistemas por sus coeficientes y trabajar con matrices, es decir, expresarlos de forma matricial expresando el sistema como un producto de matrices. 

Utilizaremos las matrices de coeficientes y términos independientes para definir el sistema como una ecuación matricial del tipo: 

Veamos un ejemplo con el siguiente sistema:

Matriz de coeficientes (A) y matriz de términos independientes (B):

Juntas forman la matriz ampliada (A*):

Tipos de Sistemas de Ecuaciones

Una solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores para las variables que hacen que cada ecuación en el sistema sea cierta. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones del sistema.

Dependiendo del número de soluciones que tengan los sistemas de ecuaciones lineales tendremos: 

• Sistema Incompatible (SI): no tiene solución. Es un sistema inconsistente. Por ejemplo:

  

  Si resuelves el sistema, llegas a una desigualdad sin sentido como, por ejemplo, 9=5. Esto se debe a que las ecuaciones son incongruentes entre sí.

   

• Sistema Compatible Determinado (SCD): posee una única solución. El siguiente sistema es consistente e independiente con solución única x = 2, y = 3.

  

   

• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): posee infinitas soluciones. El siguiente sistema es consistente y dependiente, ya que sus ecuaciones guardan relación de dependencia entre sí:

  

  Si resuelves el sistema, llegar a una obviedad del tipo 0=0. 

   

Teorema de Rouché-Frobenius

Este teorema nos permite diferenciar el tipo de sistema que tenemos delante mediante el estudio de los rangos de las matrices que conforman el sistema

Dice que "Para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas sea compatible (tenga solución) el rango de la matriz de los coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada".

• Si rg(A) ≠ rg (A*), el Sistema es Incompatible (S.I) y no tiene solución.

   

• Si rg(A) = rg (A)= número de incógnitas, el Sistema es Compatible Determinado (SCD) y tiene una única solución. Es decir, si el número de filas no nulas (independientes) coincide con el número de incógnitas.

   

• Si rg(A) = rg (A*) < número de incógnitas, el Sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I) y tiene infinitas soluciones. Es decir, si el número de filas no nulas es menor que el número de incógnitas.

Ejemplo resuelto: Estudiamos la solución o soluciones del sistema anterior en función de Rouché Frobenius:

Solución

Matriz de coeficientes (A) y matriz de términos independientes (B):

Juntas forman la matriz ampliada (A*):

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

Dado que el determinante de la matriz de coeficientes no es nulo, podemos confirmar que su rango es 3. 

Como la matriz A se encuentra dentro de la matriz ampliada , se cumple siempre que:

Por tanto:

De acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada coinciden y son iguales al número de incógnitas, por lo que, se trata de un Sistema Compatible Determinado que solo tendrá una única solución.

Como ya hemos confirmado que tenemos un SCD formado por 3 ecuaciones y 3 incógnitas, podemos resolverlo por el método de Cramer, que es el más rápido.

Ya conocemos el valor del determinante de la matriz de coeficientes, por lo que solo queda calcular los determinantes de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:

Sustituimos en las fórmulas de Cramer:

 

Métodos de resolución

Dependiendo del número de incógnitas y ecuaciones que se planteen, podremos utilizar uno u otro método para resolver el sistema.

Para la resolución de sistemas de los sistemas de 3 ecuaciones, podremos hacer uso de la resolución por Cramer o por Gauss.

El método de resolución también dependerá de si nos encontramos ante un Sistema Compatible determinado o indeterminado.

Ejercicios resueltos

1. Determinar los valores de a para los que el sistema tiene solución. Calcula las soluciones en los casos posibles.

Solución

Debemos estudiar los valores de a para los que el sistema tiene solución, lo resolvemos según Rouché – Frobenius.

Siempre comenzamos calculando el rango de la matriz cuadrada, para luego comparar ambos rangos y definir la compatibilidad del sistema.

Estudiamos el Rango de la matriz ampliada , que es la matriz cuadrada, y calculamos los valores de a que anulan el determinante:

Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:

Tenemos un sistema incompatible.

Sustituimos el sistema:

El determinante de la matriz ampliada es nulo, buscamos un menor de orden dos distinto de cero para ver si el rango de vale 2.

También se cumple para la matriz A

El sistema es compatible determinado. Hay dos incógnitas para dos ecuaciones. Podríamos resolverlo.

El determinante de la matriz ampliada es nulo, buscamos un menor de orden dos distinto de cero para ver si el rango de vale 2.

Cuando calculamos el rango de A, vemos que todas las filas/columnas son proporcionales, por tanto no encontramos un determinante de orden dos diferente de cero:

Tenemos un sistema incompatible.

En resumen:

 

2. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución:

Solución

Lo haremos por el método de Rouché - Frobenius

Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de :

Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:

 

 

En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.

 

La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero:

El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones.

 

La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante:

Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:

La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila.

Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2.

El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible.

En resumen:

 

Vídeo complementario