Ecuaciones matriciales

Introducción

Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita X es una matriz. 

Las ecuaciones matriciales se tienen que tratar como si fueran ecuaciones normales, pero con tres diferencias:

1. El uno en matrices es la matriz identidad . 

2. El producto no es conmutativo: A · B ≠ B · A. 

3. Para despejar ecuaciones matriciales utilizaremos la matriz inversa. 

Resolución de ecuaciones matriciales

En ecuaciones matriciales, lo más sencillo es empezar por despejar la matriz X y, luego, operar con el resto de las matrices que se indiquen. 

Los pasos que debes seguir para la resolución de las ecuaciones matriciales son los siguientes: 

1. Pasamos todos los elementos que contengan la matriz X a un lado de la igualdad y al otro lado todos aquellos que no la contengan. ¡OJO! Cuidado si tenemos varias X, debemos sacar factor común teniendo en cuenta donde está colocada la X

2. Multiplicar la matriz que esté al lado de la X por su inversa, por el lado contrario a donde esté situada la matriz X. Recordemos que no existe la división de matrices.

3. Multiplicamos al otro miembro por la misma matriz inversa por el mismo lado que se ha multiplicado en lado opuesto. 

4. Sustituir el producto de la matriz y su inversa por la matriz Identidad.

5. La matriz identidad multiplicada por la matriz X, es igual a la matriz X. 

6. Hallar el valor de la matriz X, realizando la operación de matrices que queda en la igualdad final.

Dado que no existe la división de matrices, para despejar, se usan las siguientes propiedades de las matrices:

El objetivo es conseguir que la matriz X se quede sola, multiplicando por su inversa a las matrices que le multipliquen inicialmente, teniendo siempre en cuenta el lado por el cual se multiplica.

Vamos a verlo con el siguiente ejemplo sencillo:

Ejercicios resueltos

1. Obtener la matriz X que verifica A·X = 2B – C siendo:

Solución

Comenzamos multiplicando por la inversa de A por la izquierda:

Procedemos a hacer los cálculos, comenzaremos por la inversa de A:

Por otro lado, calculamos 2B – C:

Por último, sustituimos y calculamos X:

 

2. Resuelve la siguiente ecuación matricial: BXB = B(X+A)

Solución

Comenzamos despejando la matriz X:

Una vez despejada, procedemos a hacer los cálculos. Empezaremos por calcular la inversa de (B-I) por el método de adjuntos:

Por último, calculamos el producto de A y la matriz inversa que acabamos de obtener:

 

3. Calcule la matriz X que verifica 2AX - B = 3AX siendo:

Solución

Despejamos:

Sacamos factor común de AX, que multiplica por la derecha:

Continuamos multiplicando por la inversa de A por la izquierda:

Procedemos a hacer los cálculos, comenzaremos por calcular la inversa de A:

Por último, sustituimos y calculamos X:

 

Vídeos complementarios