Resolución de sistemas compatibles indeterminados

Introducción

Un sistema lineal de ecuaciones es compatible si el sistema admite soluciones. Diremos que es indeterminado si tiene más de una solución, aunque, en realidad, si un sistema lineal tiene más de una solución, entonces tiene infinitas.

Que un sistema sea compatible indeterminado significa que una de las ecuaciones es redundante, que depende linealmente de las otras. En definitiva, que faltan datos para concretar la solución; por eso se da en función de una de las incógnitas. 

Resolución por Gauss

El método de Gauss es muy útil para resolver este tipo de sistemas, ya que se basa en una sustitución. La solución de un sistema compatible indeterminado depende siempre de, al menos, un parámetro.

Este método consiste en realizar transformaciones elementales (operaciones) entre las filas de la matriz ampliada mediante la que se expresa el sistema con el objetivo de obtener una matriz escalonada. 

Ejemplo resuelto: Estudio y resolución de un SCI por Gauss

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Para resolver el sistema mediante el método de Gauss, realizaremos transformaciones elementales (operaciones básicas) entre las filas de la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada:

Hemos llegado a la igualdad que nos confirma que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado:

A continuación, reescribimos el sistema con 2 ecuaciones:

En este caso, le asignamos un valor paramétrico l a la incógnita z y resolvemos el sistema como un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, por cualquier método de sustitución, reducción o igualación. En este caso, vamos a hacerlo por sustitución:

Solución:

Resolución por Cramer

La regla de Cramer solo funciona cuando el determinante de la matriz A es distinto de cero, pero en un sistema compatible indeterminado este determinante vale cero. Para salvar este obstáculo y poder llegar a la solución del sistema utilizando Cramer, se transforma el sistema inicial en un Sistema Compatible Determinado de menor orden.

Seguiremos los siguientes pasos:

1. Eliminaremos una ecuación de las 3, la que queramos.

2. Le daremos valor paramétrico a una de las incógnitas, de forma que ya solo tengamos dos ecuaciones y dos incógnitas. Por ejemplo, z = l.

3. Escribiremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada para el nuevo sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. A partir de aquí procedemos igual que en un Sistema Compatible Determinado, que es lo que tendremos ahora.

4. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro.

6. El sistema tiene infinitas soluciones, una para cada valor del parámetro.

Ejemplo resuelto: Estudiar por Rouché-Frobenius y resolución por Cramer de un SCI:

Damos por estudiado el sistema y confirmado que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado:

1. Eliminamos una ecuación, en este caso, escogemos la última, pero podría ser cualquiera:

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas:

3. Escribimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* del nuevo sistema:

4. Calculamos el determinante de la matriz A y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro l:

Solución: 
 

Ejercicios resueltos

1. Estudiar las soluciones del siguiente sistema y resuélvelo haciendo uso del método de Cramer:

Solución

Comenzamos escribiendo la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A del sistema: 

En este caso, el máximo rango que pueden tener ambas matrices es 3. Vamos a comenzar por aquella matriz que sea cuadrada, en este caso la matriz cuadrada es la matriz de los coeficientes (A). Calculamos el rango de A:

Cogemos ahora una matriz de 2x2:

Como los determinantes de 2x2 no son nulos, podemos afirmar que el rango de A es 2.

Una vez conocemos el rango de A, calculamos el rango de la matriz ampliada escogiendo una de sus submatrices de 3x3:

De acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, se cumple que:

Por lo que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Procedemos ahora a resolverlo por el método de Cramer para SCI:

 

1. Eliminamos una ecuación, en este caso, escogemos la última, pero podría ser cualquiera:

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas:

3. Escribimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* del nuevo sistema:

4. Calculamos el determinante de la matriz A y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro l:

Solución: 

 

2. Estudia y resuelve el siguiente sistema:

Solución

Método 1: discusión y solución por Gauss

Definimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Para resolver el sistema mediante el método de Gauss, realizaremos transformaciones elementales (operaciones básicas) entre las filas de la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada:

Hemos llegado a la igualdad que nos confirma que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado:

En este caso, había 4 ecuaciones y 3 incógnitas, pero 2 ecuaciones han resultado ser dependientes, cosa que hemos comprobado al conseguir 2 filas de ceros. A continuación, reescribimos el sistema con 2 ecuaciones:

En este caso, le asignamos un valor paramétrico l a la incógnita y resolvemos el sistema como un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, por cualquier método de sustitución, reducción o igualación. En este caso, vamos a hacerlo por sustitución:

Método 2: Discusión por Rouché-Frobenius y solución por Cramer

Definimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Comenzamos calculando el rango de A, que, dado que es una matriz de 4x3, su mayor valor posible podrá ser 3. Como es una matriz rectangular, calculamos el determinante de las matrices cuadradas de 3x3 inscritas dentro de A:

Como todos ellos son nulos, podemos confirmar que el rango de A es menor de 3, lo que nos lleva a calcular los determinantes de las matrices de 2x2 inscritas en A:

Si un determinante de 2x2 no es nulo, ya podemos afirmar que el rango de A es 2.

Continuamos calculando el rango de la matriz ampliada A*, que tiene dimensión 4x4 por lo que su rango máximo podrá ser 4, mediante adjuntos:

El determinante de 4x4 es nulo, afirmamos que el rango de A es menor de 4. Continuamos calculando los determinantes de 3x3 inscritos dentro de A*. Si nos fijamos, ya hemos calculado estos determinantes en el cálculo del determinante de 4x4 por adjuntos y han sido nulos, así que también podemos confirmar que el rango de A* es menor de 3.

Por último, calculamos el determinante de las submatrices inscritas de 2x2, que ya sabemos que no van a ser nulos puesto que comparte submatrices de 2x2 con A, que ya sabemos que no son nulas.

De acuerdo con el Teorema de Rouché Frobenius podemos afirmar que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado porque los rangos de la matriz de coeficientes A y de la matriz ampliada A* coinciden y son menores al número de incógnitas.

Una vez confirmado que se trata de un SCI, podemos resolverlo por Cramer:

 

1. Eliminamos una ecuación, en este caso, 2 ecuaciones han resultado ser dependientes, por lo que eliminamos las dos primeras y el sistema con 2 ecuaciones:

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas:

3. Escribimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* del nuevo sistema:

4. Calculamos el determinante de la matriz A y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro l:

Solución: