Resolución de sistemas compatibles indeterminados

Introducción

Un sistema lineal de ecuaciones es compatible si el sistema admite soluciones. Diremos que es indeterminado si tiene más de una solución, aunque, en realidad, si un sistema lineal tiene más de una solución, entonces tiene infinitas.

Que un sistema sea compatible indeterminado significa que una de las ecuaciones es redundante, que depende linealmente de las otras. En definitiva, que faltan datos para concretar la solución; por eso se da en función de una de las incógnitas. 

Resolución por Gauss

El método de Gauss es muy útil para resolver este tipo de sistemas, ya que se basa en una sustitución. La solución de un sistema compatible indeterminado depende siempre de, al menos, un parámetro.

Este método consiste en realizar transformaciones elementales (operaciones) entre las filas de la matriz ampliada mediante la que se expresa el sistema con el objetivo de obtener una matriz escalonada. 

Ejemplo resuelto: Estudio y resolución de un SCI por Gauss

Solución

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Para resolver el sistema mediante el método de Gauss, realizaremos transformaciones elementales (operaciones básicas) entre las filas de la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada:

Hemos llegado a la igualdad que nos confirma que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado:

A continuación, reescribimos el sistema con 2 ecuaciones:

En este caso, le asignamos un valor paramétrico l a la incógnita z y resolvemos el sistema como un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, por cualquier método de sustitución, reducción o igualación. En este caso, vamos a hacerlo por sustitución: