Para discutir un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro según el criterio de Rouché-Frobenius se siguen estos pasos:
1. Obtener las matrices A (coeficientes) y A* (ampliada).
2. Se calcula el determinante de A, se iguala a cero y se discute el rango de A en función de los valores del parámetro que anulan (o no) el determinante.
3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A* y compararlo con el de A.
4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché-Frobenius y se escriben los resultados.
Ejercicios resueltos
1. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución:
Solución
Lo haremos por el método de Rouché Frobenius.
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a:
Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:
Si :
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Si :
La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero:
El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones.
Si :
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante:
Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:
La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila.
Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2.
El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible.
En resumen:
2. Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuelve cuándo sea posible:
Solución
a) Discusión
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A*, ya que A no es una matriz cuadrada y no podemos calcular su determinante, y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de :
El rango máximo de A* puede ser 3 mientras que, el rango máximo de A puede ser 2, por lo que para los valores de a que no anulen el determinante de A* y le proporcionen rango 3, el sistema será incompatible.
Nos encontramos antes 2 posibles casos de solución que analizaremos por separado:
Caso 1:
En este caso el determinante de A* no es nulo y el rango de A* es 3, sin embargo, el de la matriz A, que tiene dimensiones , es 2, por lo que el sistema es Incompatible de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius ya que los rangos de A y A* no coinciden.
Caso 2:
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
La matriz A* es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que el determinante se anula. Calculamos el determinante de las submatrices de 2x2:
Los menores de orden 2 no son nulos por lo que podemos afirmar que el rango de A* es 2.
A continuación, estudiamos el rango de A, que podrá ser, como máximo, 2. Como no es una matriz cuadrada, calculamos los determinantes de las submatrices 2x2:
Los determinantes de las submatrices cuadradas de orden 2 no son nulos por lo que podemos afirmar que el rango de A es 2.
En este caso el rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
b) Resolución
Procedemos ahora a resolverlo para , que es el único valor de a para el que tiene solución:
Solución:
3. Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuelve cuándo sea posible:
Solución
a) Discusión
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a:
Factorizamos el polinomio mediante el método Ruffini:
Nos encontramos antes 3 posibles casos de solución que analizaremos por separado:
Si:
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Si :
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene una fila entera de ceros. Calculamos el determinante de las submatrices de 2x2:
Como los menores de orden 2 no son nulos, podemos afirmar que el rango de A es 2.
El rango de la matriz ampliada, de dimensiones 3x4, lo calcularemos mediante el determinante de las submatrices de 3x3 :
Todos los menores de 3x3 son nulos por lo que el rango de A* es menor que 3. Calculamos ahora los menores de 2x2:
El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Si :
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos filas idénticas y su determinante nos ha dado cero.
Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:
Todos los menores de orden 2 son nulos por lo que podemos afirmar que el rango de A es 1.
La matriz ampliada A*, de dimensiones podrá tener, como máximo, rango 3. Calculamos el determinante de las submatrices inscritas de 3x3.
Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:
Aunque algunos menores de orden 2 sí son nulos, este no lo es, por lo que podemos afirmar que el rango de A* es 2.
El rango de A es 1, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 2, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
b) Resolución
Si :
En este caso, el sistema es un SCD que resolveremos por Cramer. Escogeremos valor
Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:
Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.
Solución:
Si
En este caso, el sistema es un SCI que resolveremos por Cramer.
Lo primero que hacemos es eliminar una ecuación y darle valor paramétrico a z:
Una vez transformado el sistema en un SCD de dos ecuaciones y dos incógnitas, resolvemos por Cramer.
Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:
Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.
Solución:
4. Discute el siguiente sistema según los valores de a y b y resuelve cuándo sea posible:
Solución
a) Discusión
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de :
Nos encontramos antes 2 posibles casos de solución que analizaremos por separado:
Si
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas, independientemente del valor de b. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Si
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que la 3ª columna es la 2ª columna multiplicada por (-1), es decir, son dependientes. Calculamos el determinante de las submatrices de 2x2:
Como los menores de orden 2 no son nulos, podemos afirmar que el rango de A es 2.
El rango de la matriz ampliada, de dimensiones 3x4, lo calcularemos mediante el determinante de las submatrices de 3x3 y su valor dependerá del parámetro b.
Concluimos que el rango de A* es 3 cuando b toma valores distintos de 4 y menor de 3 si b vale 4.
Podemos concluir que, cuándo y , el rango de A no coincide con el rango de A* y de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible.
Continuamos estudiando el rango de A* cuando .
Todos los menores de son nulos por lo que el rango de A* es menor que 3. Calculamos ahora los menores de :
El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
b) Resolución
Si yvale cualquier valor
En este caso, el sistema es un SCD que resolveremos por Cramer. Escogeremos valor y
Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:
Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.
Solución:
Si :
En este caso, el sistema es un SCI que resolveremos por Cramer.
Lo primero que hacemos es eliminar una ecuación y darle valor paramétrico a z:
Una vez transformado el sistema en un SCD de dos ecuaciones y dos incógnitas, resolvemos por Cramer.
Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:
Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.
Solución:
5. Discutir el siguiente sistema según los valores de a y resuelve cuándo sea posible:
Solución
a) Discusión
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a:
Factorizamos el polinomio mediante el método Ruffini:
Nos encontramos antes 3 posibles casos de solución que analizaremos por separado:
Caso 1:
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Caso 2:
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que todas sus filas y columnas son idénticas. Calculamos el determinante de las submatrices de 2x2:
Como los menores de orden 2 son nulos, podemos afirmar que el rango de A es 1, pues sus elementos no son ceros y no podría tener rango cero.
El rango de la matriz ampliada, de dimensiones 3x4, lo calcularemos mediante el determinante de las submatrices de 3x3 :
Todos los menores de 3x3 son nulos por lo que el rango de A* es menor que 3. Calculamos ahora los menores de 2x2:
Los menores de orden 2 también son nulos, por lo que podemos afirmar que el rango de A* es 1, pues sus elementos no son ceros y no podría tener rango cero.
De acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango de A y el rango de A* coinciden, pero son menores al número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Caso 3:
La matriz A es de 3x3 pero su rango va a ser menor de 3 porque el determinante cuando es nulo.
Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:
Los menores de orden 2 no son nulos por lo que podemos afirmar que el rango de A es 2.
La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Calculamos el determinante de las submatrices inscritas de 3x3.
El menor de orden 3 de la matriz A* no es nulo por lo que afirmamos que su rango es 3.
El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
b) Resolución
Caso 1: y
En este caso, el sistema es un SCD que resolveremos por Cramer. Escogeremos valor :
Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:
Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.
Solución:
Caso 2:
En este caso, el sistema es un SCI que resolveremos por Cramer.
Lo primero que hacemos es eliminar una ecuación, aunque en este caso serán 2, ya que podemos ver que todas son idénticas. A continuación, le damos valor paramétrico a z e y:
Como solo había una ecuación y 3 incógnitas, las infinitas soluciones dependerán de 2 parámetros.
Solución:
6. Discutir el siguiente sistema según los valores de k y resuelve cuándo sea posible:
Solución
a) Discusión:
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de :
Factorizamos el polinomio:
Nos encontramos antes 3 posibles casos de solución que analizaremos por separado:
Caso 1:
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Caso 2:
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que todas sus filas y columnas son idénticas. Calculamos el determinante de las submatrices de 2x2:
Como los menores de orden 2 no son nulos, podemos afirmar que el rango de A es 2.
El rango de la matriz ampliada, de dimensiones 3x4, lo calcularemos mediante el determinante de las submatrices de 3x3 :
Todos los menores de 3x3 son nulos (tienen una fila entera de ceros) por lo que el rango de A* es menor que 3. Calculamos ahora los menores de 2x2:
Los menores de orden 2 no son nulos, por lo que podemos afirmar que el rango de A* es 2.
De acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango de A y el rango de A* coinciden, pero son menores al número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Caso 3:
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que su 1ª y 3ª columna son idénticas. Calculamos el determinante de las submatrices de 2x2:
Como los menores de orden 2 no son nulos, podemos afirmar que el rango de A es 2.
El rango de la matriz ampliada, de dimensiones 3x4, lo calcularemos mediante el determinante de las submatrices de 3x3 :
Todos los menores de 3x3 son nulos (tienen una fila entera de ceros) por lo que el rango de A* es menor que 3. Calculamos ahora los menores de 2x2:
Algunos menores de orden 2 no son nulos, por lo que podemos afirmar que el rango de A* es 2.
De acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango de A y el rango de A* coinciden, pero son menores al número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
b) Resolución
Caso 1: y
En este caso, el sistema es un SCD que resolveremos por Cramer. Escogeremos valor :
Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:
Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.
Solución:
Caso 2:
En este caso, el sistema es un SCI que resolveremos por Cramer.
Lo primero que hacemos es eliminar una ecuación y le damos valor paramétrico a z:
Como nos quedaba 1 ecuación con una sola incógnita, hemos podido despejar y utilizar el método de sustitución.
Solución:
Caso 3:
En este caso, el sistema es un SCI que resolveremos por Cramer.
Lo primero que hacemos es eliminar una ecuación y le damos valor paramétrico a z:
Como nos quedaba 1 ecuación con una sola incógnita, hemos podido despejar y utilizar el método de sustitución.
:
, que es el único valor de a para el que tiene solución:
:
podrá tener, como máximo, rango 3. Calculamos el determinante de las submatrices inscritas de 3x3.
:
:
:
:
, es 2, por lo que el sistema es Incompatible de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius ya que los rangos de A y A* no coinciden.
:
:
y 
, el rango de A no coincide con el rango de A* y de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible.
.
son nulos por lo que el rango de A* es menor que 3. Calculamos ahora los menores de 
:
vale cualquier valor
y 
:
es nulo. 
y
:
y
:
