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Para discutir un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro según el criterio de Rouché-Frobenius se siguen estos pasos:
1. Obtener las matrices A (coeficientes) y A* (ampliada).
2. Se calcula el determinante de A, se iguala a cero y se discute el rango de A en función de los valores del parámetro que anulan (o no) el determinante.
3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A* y compararlo con el de A.
4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché-Frobenius y se escriben los resultados.
1. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución:
Solución
Lo haremos por el método de Rouché Frobenius.
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a:
Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:
Si :
En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.
Si :
La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero:
El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones.
Si :
La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante:
Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:
La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila.
Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2.
El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible.
En resumen:
2. Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuelve cuándo sea posible:
Solución
a) Discusión
Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:
Calculamos primero el determinante de A*, ya que A no es una matriz cuadrada y no podemos calcular su determinante, y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de :