Contenidos:
  1. Resolución de sistemas con parámetros
  2. Ejercicios resueltos
  3. Vídeos complementarios

¿Necesitas clases particulares?

Conecta con un profesor particular personalizado para ti.

Temario Bloque Álgebra
Bloques
Recursos > Matemáticas > Bachillerato

Discusión de sistemas con parámetros

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
13 de febrero 2025

Resolución de sistemas con parámetros

Para discutir un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro según el criterio de Rouché-Frobenius se siguen estos pasos:

 

1. Obtener las matrices A (coeficientes) y A* (ampliada).

2. Se calcula el determinante de A, se iguala a cero y se discute el rango de A en función de los valores del parámetro que anulan (o no) el determinante.

3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A* y compararlo con el de A.

4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché-Frobenius y se escriben los resultados.

 

Ejercicios resueltos

1. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución:

Teorema de Rouché - Frobenius

Solución

Lo haremos por el método de Rouché Frobenius.

Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Teorema de Rouché - Frobenius

Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a:

Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius

Estudiamos los rangos en función de estos valores de a:

 

Si Teorema de Rouché - Frobenius:

En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius.

Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius

 

Si Teorema de Rouché - Frobenius:

Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius

La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero:

Teorema de Rouché - Frobenius

El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones.

Teorema de Rouché - Frobenius

 

Si Teorema de Rouché - Frobenius:

Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius

La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante:

Teorema de Rouché - Frobenius

Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2:

Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius

La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila.

Teorema de Rouché - Frobenius

Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2.

Teorema de Rouché - Frobenius
Teorema de Rouché - Frobenius

El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible.

Teorema de Rouché - Frobenius

En resumen:

 

 

2. Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuelve cuándo sea posible:

5. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución: Teorema de Rouché - Frobenius Solución Lo haremos por el método de Rouché Frobenius. Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*: Teorema de Rouché - Frobenius Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a: Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Estudiamos los rangos en función de estos valores de a: Si Teorema de Rouché - Frobenius. En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Si Teorema de Rouché - Frobenius. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero: Teorema de Rouché - Frobenius El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones. Teorema de Rouché - Frobenius Si Teorema de Rouché - Frobenius. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante: Teorema de Rouché - Frobenius Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2: Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila. Teorema de Rouché - Frobenius Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible. Teorema de Rouché - Frobenius En resumen:

Solución

a) Discusión

Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

5. Determina los valores de a para los que el sistema tiene solución: Teorema de Rouché - Frobenius Solución Lo haremos por el método de Rouché Frobenius. Expresaremos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*: Teorema de Rouché - Frobenius Calculamos primero el determinante de A y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de a: Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Estudiamos los rangos en función de estos valores de a: Si Teorema de Rouché - Frobenius. En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3, al igual que el de la matriz ampliada A* y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Si Teorema de Rouché - Frobenius. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius La matriz ampliada, de dimensiones 3x4, tiene una fila entera de ceros, por tanto, no hay determinante de orden tres diferente de cero: Teorema de Rouché - Frobenius El rango de A es 2, al igual que el de la matriz ampliada A* y menor al número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones. Teorema de Rouché - Frobenius Si Teorema de Rouché - Frobenius. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius La matriz A es de 3x3 pero podemos ver que su rango va a ser menor de 3 ya que tiene dos columnas dependientes, la 2ª columna es la 1ª multiplicada por (-1). Lo comprobamos calculando su determinante: Teorema de Rouché - Frobenius Calculamos entonces el determinante de las submatrices de 2x2: Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius La matriz ampliada A*, de dimensiones 3x4 podrá tener, como máximo, rango 3. Se pueden crear tres combinaciones diferentes de determinantes de orden tres, sustituyendo los términos independientes en cada fila. Teorema de Rouché - Frobenius Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango será 3. Si todos valen cero, el rango será 2. Teorema de Rouché - Frobenius Teorema de Rouché - Frobenius El rango de A es 2, pero el de la matriz ampliada A* es igual a 3, por lo que no coinciden. El sistema es incompatible. Teorema de Rouché - Frobenius En resumen:

Calculamos primero el determinante de A*, ya que A no es una matriz cuadrada y no podemos calcular su determinante, y lo igualamos a cero para estudiar su rango en función de :