Matriz inversa: Cálculo por adjuntos (habitual)

Introducción

Sea A una matriz de orden , la matriz inversa de A es y se cumple que:

No todas las matrices de orden n tienen inversa. La condición necesaria y suficiente para que una matriz de orden n tenga inversa es que su determinante sea diferente de cero.

Propiedades:

• La inversa de la matriz inversa es la propia matriz. 

• Si dos matrices admiten inversa, la inversa del producto es el producto de las inversas cambiado de orden. 

• La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa. 

  

   

Cálculo de la matriz inversa por adjuntos

Sea A una matriz cuadrada y regular de dimensión n, la matriz inversa, A−1, se calcula:

Para calcular la matriz inversa calculamos la matriz traspuesta de la adjunta y dividimos por el determinante.

Ejemplo: Calcular la matriz inversa de:

Calculamos su determinante:

Para que exista la inversa, el determinante tiene que ser distinto de cero:

Calculamos la matriz adjunta de A:

Una vez tenemos la matriz adjunta, la trasponemos intercambiando filas por columnas:

Por último, sustituimos en la fórmula:

Ejercicios resueltos

1. Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz , si es posible, por adjuntos:

Solución

Calculamos el determinante de A para comprobar que es distinto de cero y que, por lo tanto, la matriz es invertible:

Calculamos ahora la matriz adjunta de A:

Una vez tenemos la matriz adjunta, la trasponemos intercambiando filas por columnas:

Por último, sustituimos en la fórmula:

 

2. Calcula la matriz inversa de la siguiente matriz por adjuntos:

Solución

Calculamos el determinante de A para comprobar que es distinto de cero y que, por lo tanto, la matriz es invertible:

Calculamos la matriz adjunta de A:

Una vez tenemos la matriz adjunta, la trasponemos intercambiando filas por columnas:

Por último, sustituimos en la fórmula:

 

3. Calcula la matriz inversa de la siguiente matriz por adjuntos:

Solución

Calculamos el determinante de A para comprobar que es distinto de cero y que, por lo tanto, la matriz es invertible

Calculamos ahora la matriz adjunta de A:

Una vez tenemos la matriz adjunta, la trasponemos intercambiando filas por columnas:

Por último, sustituimos en la fórmula:

 

Vídeo complementario