Regla de Cramer

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un método que utiliza determinantes para obtener las distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Se puede utilizar siempre y cuando el sistema sea compatible.

Sea D el determinante de la matriz de coeficientes y D1, D2 y D3 los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes de por la columna de los términos independientes, respectivamente. Los pasos a seguir son:

1. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes.

2. Calcular los determinantes de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de términos independientes.

3. Sustituir en las fórmulas y obtener los valores de las incógnitas.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones aplicadas al ejemplo:

Pasamos el sistema a matrices:

Aplicamos las fórmulas para calcular las variables:

Es importante tener en cuenta que no siempre es necesario resolver las tres incógnitas, muchas veces podemos resolver en las ecuaciones para despejar las variables que nos faltan.

Resolución de Sistemas Compatibles Indeterminados por Cramer

Un sistema compatible indeterminado es un sistema en el que tenemos más incógnitas que ecuaciones y, por tanto, hay infinitas soluciones. La solución del sistema se expresará en función de un parámetro. Se pueden resolver por Cramer:

1. Partimos de las ecuaciones válidas del sistema:

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas, la que queramos:

3. Escribimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* del nuevo sistema:

4. Calculamos el determinante de la matriz A y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro l:

Solución: 

Ejercicios resueltos

1. Resolver un SCD por Cramer:

Solución

Damos por estudiado el sistema y confirmado que se trata de un Sistema Compatible Determinado.

Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:

Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.

 

2. Resolver, con ayuda de la regla de Cramer, el siguiente sistema compatible determinado:

Solución

Como ya nos indica que se trata de un SCD, no necesitamos hacer ninguna transformación antes de aplicar el método de Cramer.

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

A continuación, calculamos el determinante de A y de las matrices resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

Por último, sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las tres incógnitas:

Solución: 
 

 

3.  Resolver, con ayuda de la regla de Cramer, el siguiente sistema compatible indeterminado:

Solución

Dado que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado, para resolverlo por el método de Cramer, tenemos que transformarlo en un SCD de orden menor que 3:
 

1. Eliminamos una ecuación, en este caso, escogemos la última, pero podría ser cualquiera:

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas:

3. Escribimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* del nuevo sistema:

4. Calculamos el determinante de la matriz A y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro l:

Solución: 

 

4. Resolver, con ayuda de la regla de Cramer, el siguiente sistema compatible determinado:

Solución

Como ya nos indica que se trata de un SCD, no necesitamos hacer ninguna transformación antes de aplicar el método de Cramer.

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

A continuación, calculamos el determinante de A y de las matrices resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

Por último, sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las tres incógnitas:

Solución: