Regla de Cramer

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
13 de febrero 2025

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un método que utiliza determinantes para obtener las distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Se puede utilizar siempre y cuando el sistema sea compatible.

Sea D el determinante de la matriz de coeficientes y D1, D2 y D3 los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes de Regla de Cramer por la columna de los términos independientes, respectivamente. Los pasos a seguir son:

 

1. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes.

2. Calcular los determinantes de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de términos independientes.

3. Sustituir en las fórmulas y obtener los valores de las incógnitas.

 

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones aplicadas al ejemplo:

Regla de Cramer

Pasamos el sistema a matrices:

Regla de Cramer

Aplicamos las fórmulas para calcular las variables:

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

 

Es importante tener en cuenta que no siempre es necesario resolver las tres incógnitas, muchas veces podemos resolver en las ecuaciones para despejar las variables que nos faltan.

 

Resolución de Sistemas Compatibles Indeterminados por Cramer

Un sistema compatible indeterminado es un sistema en el que tenemos más incógnitas que ecuaciones y, por tanto, hay infinitas soluciones. La solución del sistema se expresará en función de un parámetro. Se pueden resolver por Cramer:

 

1. Partimos de las ecuaciones válidas del sistema:

Regla de Cramer

 

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas, la que queramos:

Regla de Cramer
Regla de Cramer

 

3. Escribimos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* del nuevo sistema:

Regla de Cramer

 

4. Calculamos el determinante de la matriz A y de las matrices de 2x2 resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

 

5. Sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las dos incógnitas en función del parámetro l:

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

Solución: 

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

 

Ejercicios resueltos

1. Resolver un SCD por Cramer:

Regla de Cramer

Solución

Damos por estudiado el sistema y confirmado que se trata de un Sistema Compatible Determinado.

Calculamos los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices resultantes de sustituir cada columna por la columna de los términos independientes:

Regla de Cramer
Regla de Cramer

Una vez tenemos los valores de los determinantes, sustituimos en las fórmulas de Cramer para llegar a la solución del sistema.

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

 

2. Resolver, con ayuda de la regla de Cramer, el siguiente sistema compatible determinado:

Regla de Cramer

Solución

Como ya nos indica que se trata de un SCD, no necesitamos hacer ninguna transformación antes de aplicar el método de Cramer.

Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A*:

Regla de Cramer
Regla de Cramer

A continuación, calculamos el determinante de A y de las matrices resultantes de sustituir cada columna de A por la columna de términos independientes.

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

Por último, sustituimos en las fórmulas de Cramer y obtenemos el valor de las tres incógnitas:

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

Solución: 
 

Regla de Cramer
Regla de Cramer
Regla de Cramer

 

3.  Resolver, con ayuda de la regla de Cramer, el siguiente sistema compatible indeterminado:

Regla de Cramer

Solución

Dado que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado, para resolverlo por el método de Cramer, tenemos que transformarlo en un SCD de orden menor que 3:
 

1. Eliminamos una ecuación, en este caso, escogemos la última, pero podría ser cualquiera:

Regla de Cramer

 

2. Le damos valor paramétrico a una de las incógnitas:

Regla de Cramer