Potencias cíclicas

En muchas ocasiones, al calcular las potencias de una matriz nos encontramos con que siguen un patrón definido.

Cálculo de potencias de matrices cíclicas

El procedimiento es similar al cálculo de cualquier matriz enésima: 

1. Calculamos las potencias sucesivas de A hasta obtener la matriz Identidad l. 

2. El periodo es el exponente con el que se obtiene la matriz identidad. Es decir, el número de veces que tarda en volver a aparecer la matriz inicial.

3. Se hace la división entera del exponente de la potencia que se quiere calcular entre el periodo y el resto que se obtiene es la potencia equivalente, a menos que vaya alternando el signo menos, en cuyo caso hay que tenerlo en cuenta.

Ejemplo: Calcular

Al obtener deberemos tener en cuenta que el signo irá cambiando en cada ciclo:

El ciclo se repite en los múltiplos de 3, alternando el signo. Hacemos la división:

El ciclo se repite 24 veces y tiene un resto de dos. Además, como se repite un número de veces par, el resultado será positivo.

Si nos hubieran pedido , tendríamos que el ciclo se repite 25 (impar) y tiene un resto de dos. El resultado sería negativo.

Ejercicios resueltos

1. Dada la siguiente matriz , calcula :

Solución

Evidentemente, calcular la potenciación de la matriz A62 resulta un cálculo demasiado grande para hacerlo a mano, por tanto, las potencias de la matriz tienen que seguir un patrón. 

En este caso, calcularemos hasta A5 para poder averiguar la secuencia que siguen:

Con estos cálculos podemos ver que cada 3 potencias obtenemos la matriz identidad. Es decir, nos dará como resultado la matriz identidad las matrices A3, A6, A9, … 

Para saber cuánto vale aplicamos la siguiente división:

De esta manera razonamos que el ciclo se repite 20 veces y sobran 2, es decir, el resultado será:

También podemos explicarlo aplicando la regla de la división:

 

2. Calcula , siendo A:

Solución

Comenzamos calculando las primeras potencias de A:

El ciclo se repite en múltiplos de tres y el signo va alternando:

El resto vale 2 y el ciclo se repite un número de veces impar (41), por tanto:

 

3. Calcula , siendo A:

Solución

Comenzamos calculando las primeras potencias de A:

El ciclo se repite con múltiplos de dos:

Tiene un resto de 1 y el ciclo se repite 21 veces. Por tanto:

 

Vídeo complementario