Potencias cíclicas

En muchas ocasiones, al calcular las potencias de una matriz nos encontramos con que siguen un patrón definido.

Calculo de potencias cíclicas en matrices

El procedimiento es similar al cálculo de cualquier matriz enésima: 

1. Calculamos las potencias sucesivas de A hasta obtener la matriz Identidad l. 

2. El periodo es el exponente con el que se obtiene la matriz identidad. Es decir, el número de veces que tarda en volver a aparecer la matriz inicial.

3. Se hace la división entera del exponente de la potencia que se quiere calcular entre el periodo y el resto que se obtiene es la potencia equivalente, a menos que vaya alternando el signo menos, en cuyo caso hay que tenerlo en cuenta.

Ejemplo resuelto: Calcular

Solución

 

Al obtener deberemos tener en cuenta que el signo irá cambiando en cada ciclo:

El ciclo se repite en los múltiplos de 3, alternando el signo. Hacemos la división: