Potencias cíclicas

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
13 de febrero 2025

En muchas ocasiones, al calcular las potencias de una matriz nos encontramos con que siguen un patrón definido.

 

Calculo de potencias cíclicas en matrices

El procedimiento es similar al cálculo de cualquier matriz enésima: 

1. Calculamos las potencias sucesivas de A hasta obtener la matriz Identidad l. 

2. El periodo es el exponente con el que se obtiene la matriz identidad. Es decir, el número de veces que tarda en volver a aparecer la matriz inicial.

3. Se hace la división entera del exponente de la potencia que se quiere calcular entre el periodo y el resto que se obtiene es la potencia equivalente, a menos que vaya alternando el signo menos, en cuyo caso hay que tenerlo en cuenta.

 

Ejemplo resuelto: Calcular

Potencias cíclicas
Potencias cíclicas
Potencias cíclicas

Al obtener Potencias cíclicas deberemos tener en cuenta que el signo irá cambiando en cada ciclo:

Potencias cíclicas
Potencias cíclicas
Potencias cíclicas

El ciclo se repite en los múltiplos de 3, alternando el signo. Hacemos la división:

Potencias cíclicas

El ciclo se repite 24 veces y tiene un resto de dos. Además, como se repite un número de veces par, el resultado será positivo.

Potencias cíclicas
Potencias cíclicas

Si nos hubieran pedido Potencias cíclicas, tendríamos que el ciclo se repite 25 (impar) y tiene un resto de dos. El resultado sería negativo.

Potencias cíclicas
Potencias cíclicas

 

Ejercicios resueltos

1. Dada la siguiente matriz , calcula :

Potencias cíclicas

Solución

Evidentemente, calcular la potenciación de la matriz resulta un cálculo demasiado grande para hacerlo a mano, por tanto, las potencias de la matriz tienen que seguir un patrón. 

En este caso, calcularemos hasta para poder averiguar la secuencia que siguen:

Potencias cíclicas