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A pesar de no tener el mismo número de filas y columnas, el rango de una matriz rectangular se calcula de la misma forma que el de una cuadrada, es decir, a través de los menores complementarios asociados a la matriz.
De igual manera, debemos coger el determinante cuadrado más grande posible distinto de cero, por lo que empezaremos buscando submatrices cuadradas del máximo orden que permita.
Ejemplo: Calcular el rango de una matriz rectangular por determinantes
Se trata de una matriz 3x4, por lo que el rango máximo posible es 3. Dado que la matriz no es cuadrada, comenzamos escogiendo la mayor submatriz inscrita dentro de A, que, en este caso, es de dimensión 3x3, y calculamos su determinante:
Los determinantes de 3x3 inscritos en A no son nulos, por lo que podemos afirmar que el rango de A es 3. Si todos los determinantes de orden 3 fueran cero, entonces el rango sería 2.
Para calcular el rango por el método de Gauss, aplicamos el proceso siguiendo los pasos:
Utilizamos la primera fila para hacer ceros:
Como hay dos filas diferentes de cero, el rango es igual a 2.
1. Calcular el rango de la siguiente matriz:
Solución
Se trata de una matriz de 3x4 por lo que el rango máximo puede ser 3.
La matriz tiene 4 menores de orden 3, que se obtienen al suprimir cada vez una de las 4 columnas.
Todos los menores de orden tres tienen un determinante nulo, por tanto, el rango de la matriz no puede ser 3, tendrá que ser 1 ó 2.
Para averiguar si el rango es 2, buscamos un menor de orden dos cuyo determinante sea diferente de cero.
2. Calcular el rango de la siguiente matriz:
Solución
Se trata de una matriz 2x3 por lo que el rango máximo puede ser 2.
La matriz tiene 3 menores de orden 2, que se obtienen al suprimir cada vez una de las 3 columnas:
Como el determinante es diferente de cero, el rango es 2.
3. Calcular el rango de la siguiente matriz:
Solución
Se trata de una matriz de 3x4 por lo que el rango máximo puede ser 3.
La matriz tiene 4 menores de orden 3, que se obtienen al suprimir cada vez una de las 4 columnas.
Como el primero ya nos ha dado resultado no nulo, no es necesario continuar calculando el resto, ya que únicamente con un menor de 3x3 no nulo, podemos afirmar que el rango es 3.
4. Calcular el rango de la siguiente matriz:
Solución
Se trata de una matriz de 3x2 por lo que su máximo rango puede ser 2. Comenzamos calculando los determinantes de las matrices cuadradas de mayor dimensión que se encuentren inscritas en la matriz, en este caso, 2x2.
El determinante es diferente de cero, por tanto, el rango de la matriz vale 2
5. Calcular el rango de la siguiente matriz:
Solución
Se trata de una matriz de 3x4 por lo que su máximo rango puede ser 3. Comenzamos calculando los determinantes de las matrices cuadradas de mayor dimensión que se encuentren inscritas en la matriz, en este caso, 3x3.
Como todos los determinantes de 3x3 son nulos, podemos afirmar que el rango de A es menor de 3 y procedemos a calcular los determinantes de orden menor, es decir, de 2x2.
El primer determinante de 2x2 que hemos calculado ya nos ha dado un resultado distinto de cero, por lo que podemos confirmar que el rango de A es 2 sin necesidad de calcular el resto. Si nos hubiera dado cero, habríamos seguido calculando el resto de los determinantes hasta encontrar uno distinto de cero o confirmar que todos son nulos.
6. Calcular el rango de la siguiente matriz:
Solución
Se trata de una matriz de 3x4 por lo que su máximo rango puede ser 3. Comenzamos calculando los determinantes de las matrices cuadradas de mayor dimensión que se encuentren inscritas en la matriz, en este caso, 3x3.
Como todos los determinantes de 3x3 son nulos, podemos afirmar que el rango de A es menor de 3 y procedemos a calcular los determinantes de orden menor, es decir, de 2x2.
El primer determinante de 2x2 que hemos calculado ya nos ha dado un resultado distinto de cero, por lo que podemos confirmar que el rango de A es 2 sin necesidad de calcular el resto. Si nos hubiera dado cero, habríamos seguido calculando el resto de los determinantes hasta encontrar uno distinto de cero o confirmar que todos son nulos.