Calcular el rango de una matriz rectangular

Introducción

A pesar de no tener el mismo número de filas y columnas, el rango de una matriz rectangular se calcula de la misma forma que el de una cuadrada, es decir, a través de los menores complementarios asociados a la matriz.

Rango de una matriz rectangular por determinantes

De igual manera, debemos coger el determinante cuadrado más grande posible distinto de cero, por lo que empezaremos buscando submatrices cuadradas del máximo orden que permita.

Ejemplo: Calcular el rango de una matriz rectangular por determinantes

Se trata de una matriz 3x4, por lo que el rango máximo posible es 3. Dado que la matriz no es cuadrada, comenzamos escogiendo la mayor submatriz inscrita dentro de A, que, en este caso, es de dimensión 3x3, y calculamos su determinante:

Los determinantes de 3x3 inscritos en A no son nulos, por lo que podemos afirmar que el rango de A es 3. Si todos los determinantes de orden 3 fueran cero, entonces el rango sería 2.

Rango de una matriz rectangular por Gauss

Para calcular el rango por el método de Gauss, aplicamos el proceso siguiendo los pasos: 

Utilizamos la primera fila para hacer ceros:

Como hay dos filas diferentes de cero, el rango es igual a 2.

Ejercicios resueltos

1. Calcular el rango de la siguiente matriz:

Solución

Se trata de una matriz de 3x4 por lo que el rango máximo puede ser 3.

La matriz tiene 4 menores de orden 3, que se obtienen al suprimir cada vez una de las 4 columnas. 

Todos los menores de orden tres tienen un determinante nulo, por tanto, el rango de la matriz no puede ser 3, tendrá que ser 1 ó 2.

Para averiguar si el rango es 2, buscamos un menor de orden dos cuyo determinante sea diferente de cero.

 

2. Calcular el rango de la siguiente matriz: