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Se trata de sistemas en los que todos los términos independientes de las ecuaciones son iguales a cero. La expresión de un sistema homogéneo es la siguiente:
Los sistemas homogéneos tienen los términos independientes nulos y siempre tienen solución, son compatibles ya que el rango de A siempre coincide con el de A*:
Si el rango es menor que el número de incógnitas es un sistema compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
1. Estudiar el siguiente sistema en función de sus soluciones:
Solución
Definimos la matriz de coeficientes y calculamos su determinante para estudiar su rango:
Como su determinante es nulo, estudiamos los determinantes de 2x2 inscritos en la matriz:
Los determinantes de 2x2 no son nulos por lo que el rango de A es 2.
Si el determinante de la matriz A es cero, también lo es el de todas las matrices cuadradas inscritas en la matriz ampliada A* (ya que tiene una columna entera de ceros), por lo que el rango de A* también es 2.
En este caso, de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema tiene infinitas soluciones dado que el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada coinciden y son menores al número de incógnitas.
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI).
2. Estudiar el siguiente sistema en función de sus soluciones:
Solución
Definimos la matriz de coeficientes y calculamos su determinante para estudiar su rango:
Como su determinante es nulo, estudiamos los determinantes de 2x2 inscritos en la matriz:
Los determinantes de 2x2 no son nulos por lo que el rango de A es 2.
Si el determinante de la matriz A es cero, también lo es el de todas las matrices cuadradas inscritas en la matriz ampliada A* (ya que tiene una columna entera de ceros), por lo que el rango de A* también es 2.
En este caso, de acuerdo con el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema tiene infinitas soluciones dado que el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada coinciden y son menores al número de incógnitas.
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI).