Calcular el rango de una matriz con parámetros

Introducción

Cuando estás frente a matrices dependientes de parámetros el cálculo del rango se hace más largo, pero es igual de metódico. Recuerda que el objetivo es siempre buscar el determinante distinto de cero más grande posible. 

Cálculo del rango de una matriz con parámetros

Los pasos a seguir son:

1. Tomamos el determinante de la submatriz de mayor orden posible y resolvemos en función del parámetro.

2. Igualamos la expresión obtenida a cero y resolvemos la ecuación resultante.

3. Para los valores distintos de los hallados en paso 2, la matriz tiene rango máximo.

4. Los valores hallados en el paso 1 corresponden a los valores del parámetro que hacen que el rango de la matriz no sea máximo. Los sustituimos en la matriz y procedemos a estudiar su rango.

Ejemplo resuelto: Calcular el rango (en función de un parámetro) de una matriz 3x3

Observamos que todos los elementos no son números. Hay un parámetro (en este caso "m").
El rango de la matriz, por tanto, dependerá del valor de “m”. 

1. Calculamos el determinante de A:

2. Igualamos la expresión a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado:

3. Analizamos los valores para los cuales el determinante no puede valer cero y, por tanto, el rango es máximo, es decir, 3.

4. Estudiamos el rango para los valores de m:

Para el determinante vale cero y el rango puede ser 1 ó 2, sustituimos y operamos:

Cogemos una de las submatrices de y calculamos su determinante:

Solo con que el determinante de una submatriz sea distinto de cero, ya podemos afirmar que el rango de A, cuándo m vale (-6), es 2.

Para , el determinante vale cero y el rango puede ser 1 ó 2, sustituimos y operamos:

Cogemos una de las submatrices de y calculamos su determinante:

Solo con que el determinante de una submatriz sea distinto de cero, ya podemos afirmar que el rango de A, cuándo m vale 1, es 2.

Ejercicios resueltos

1. Determinar el rango de A según los valores del parámetro k.

Solución

Vamos a resolverlo por determinantes, aunque también sería posible resolverlo por Gauss.

Procedemos a calcular los menores de orden 3:

Este menor es nulo si:

Escogemos la otra submatriz de y calculamos su determinante en función de k:

Este determinante es nulo si:

Por tanto, el rango de A será 3 siempre que k tome valores distintos de 3 y -3.

Procedemos a estudiar los menores de orden 2, por ejemplo:

Hay varios menores de orden 2 distintos de cero por lo que, independientemente del valor de k, el rango de la matriz nunca va a poder ser menor de 2.

Por tanto, el rango de A será 3 siempre que k tome valores distintos de 3 y -3 y será 2 cuándo k sea igual a 3 o -3. 

 

2. Considerando la matriz A. Calcular el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.

Solución

Se trata de una matriz de 3x3, por lo que su mayor rango posible es 3 para los valores de m que no anulen el denominador.

Calculamos el determinante de A y lo igualamos a cero para averiguar que valores lo anulan y, por tanto, implican que el rango sea menor de 3.

Si

 

Si

Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de 2x2:

Si

Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de 2x2:

 

3. Estudiar el rango de la matriz A en función del parámetro m:

Solución

Como es una matriz rectangular que depende de un parámetro, la forma más sencilla de estudiar su rango es aplicar el método de Gauss:

Aplicamos estas combinaciones lineales para hacer ceros en la primera columna

Hacemos ceros en la segunda columna: