Calcular el rango de una matriz con parámetros

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
13 de febrero 2025

Introducción

Cuando estás frente a matrices dependientes de parámetros el cálculo del rango se hace más largo, pero es igual de metódico. Recuerda que el objetivo es siempre buscar el determinante distinto de cero más grande posible. 

 

Cálculo del rango de una matriz con parámetros

Los pasos a seguir son:

1. Tomamos el determinante de la submatriz de mayor orden posible y resolvemos en función del parámetro.

2. Igualamos la expresión obtenida a cero y resolvemos la ecuación resultante.

3. Para los valores distintos de los hallados en paso 2, la matriz tiene rango máximo.

4. Los valores hallados en el paso 1 corresponden a los valores del parámetro que hacen que el rango de la matriz no sea máximo. Los sustituimos en la matriz y procedemos a estudiar su rango.

 

Ejemplo resuelto: Calcular el rango (en función de un parámetro) de una matriz 3x3

Calcular el rango de una matriz con parámetros


Observamos que todos los elementos no son números. Hay un parámetro (en este caso "m").
El rango de la matriz, por tanto, dependerá del valor de “m”. 

1. Calculamos el determinante de A:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

2. Igualamos la expresión a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado:

Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros

3. Analizamos los valores para los cuales el determinante no puede valer cero y, por tanto, el rango es máximo, es decir, 3.

Calcular el rango de una matriz con parámetros

4. Estudiamos el rango para los valores de m:

Para Calcular el rango de una matriz con parámetros el determinante vale cero y el rango puede ser 1 ó 2, sustituimos y operamos:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Cogemos una de las submatrices de Calcular el rango de una matriz con parámetros y calculamos su determinante:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Solo con que el determinante de una submatriz Calcular el rango de una matriz con parámetros sea distinto de cero, ya podemos afirmar que el rango de A, cuándo m vale (-6), es 2.

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Para Calcular el rango de una matriz con parámetros, el determinante vale cero y el rango puede ser 1 ó 2, sustituimos y operamos:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Cogemos una de las submatrices de y calculamos su determinante:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Solo con que el determinante de una submatriz Calcular el rango de una matriz con parámetros sea distinto de cero, ya podemos afirmar que el rango de A, cuándo m vale 1, es 2.

Calcular el rango de una matriz con parámetros

 

Ejercicios resueltos

1. Determinar el rango de A según los valores del parámetro k.

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Solución

Vamos a resolverlo por determinantes, aunque también sería posible resolverlo por Gauss.

Procedemos a calcular los menores de orden 3:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Este menor es nulo si:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Escogemos la otra submatriz de Calcular el rango de una matriz con parámetrosy calculamos su determinante en función de k:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Este determinante es nulo si:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Por tanto, el rango de A será 3 siempre que k tome valores distintos de 3 y -3.

Procedemos a estudiar los menores de orden 2, por ejemplo:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Hay varios menores de orden 2 distintos de cero por lo que, independientemente del valor de k, el rango de la matriz nunca va a poder ser menor de 2.

Por tanto, el rango de A será 3 siempre que k tome valores distintos de 3 y -3 y será 2 cuándo k sea igual a 3 o -3. 

Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros

 

2. Considerando la matriz A. Calcular el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Solución

Se trata de una matriz de 3x3, por lo que su mayor rango posible es 3 para los valores de m que no anulen el denominador.

Calculamos el determinante de A y lo igualamos a cero para averiguar que valores lo anulan y, por tanto, implican que el rango sea menor de 3.

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Si Calcular el rango de una matriz con parámetros

 

Si Calcular el rango de una matriz con parámetros

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de 2x2:

Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros

Si Calcular el rango de una matriz con parámetros

Calcular el rango de una matriz con parámetro

Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de 2x2:

Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros

 

3. Estudiar el rango de la matriz A en función del parámetro m:

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Solución

Como es una matriz rectangular que depende de un parámetro, la forma más sencilla de estudiar su rango es aplicar el método de Gauss:

Calcular el rango de una matriz con parámetros
Calcular el rango de una matriz con parámetros

Aplicamos estas combinaciones lineales para hacer ceros en la primera columna

Calcular el rango de una matriz con parámetros

Hacemos ceros en la segunda columna:

Calcular el rango de una matriz con parámetros