Raíces y factorización de polinomios

Raíces de un polinomio 

Se llama raíz de un polinomio a aquel valor de para el que el polinomio se anula, para el que se cumple que . Por ejemplo tiene una raíz en , pues:

De igual forma tiene 3 raíces, en , y , pues:

Cómo hallar las raíces de un polinomio

Para ello nos valemos del teorema del resto, que afirma que el valor numérico de un polinomio en un punto coincide con el resto de la división de ”.  Esto significa que, por ejemplo, dado el polinomio , el valor de debe ser lo mismo que el resto de la división , lo que es cierto, pues:

Y, si hacemos esa división por Ruffini se obtiene:

De donde se deduce que el resto de la división es también “-10”.

Para encontrar las raíces de un polinomio deberemos entonces hallar aquellos valores que crean un cero en la última cajita que rellenamos al hacer Ruffini. Para encontrar todas las raíces deberemos volver a aplicar Ruffini sobre los números que nos queden en la última fila fuera de la cajita hasta que nos quede un solo número fuera de la cajita. Pensemos que por ejemplo queremos hallar las raíces de . 

1. Estructuramos las cajitas:

2. Pruebo con distintos números.

Probemos con el 1, por ejemplo:

Como el resto es igual a 0, podemos afirmar que el 1 es una raíz del polinomio.

Asimismo, de lo anterior se concluye que:

3. Una vez hallada la primera raíz, repetimos el procedimiento con los números que nos quedan abajo, menos el de la cajita derecha.

En nuestro caso, esto es equivalente a hacer Ruffini al polinomio :

4. Probamos de nuevo con otro número, hasta obtener de resto 0:

Probando con el 1 de nuevo:

Si no se obtiene un 0 en el resto, se borra y se prueba con otro distinto.

Probando con el 3:

En tal caso, se tiene que:

Que introducido en la ecuación de arriba queda como:

5. Una vez obtenida la segunda raíz se repite el proceso hasta obtener todas las posibles.

Eso quiere decir que tiene 3 raíces, en ,   y . La descomposición que hemos hecho de en un producto de polinomios de primer grado se denomina factorización del polinomio. Es decir, la factorización de un polinomio es la descomposición de este en la multiplicación de términos de la forma .

El máximo número de raíces de un polinomio de grado “n” serán n raíces, pudiendo repetirse alguna, y pudiendo tener menos de n raíces (pero nunca más). Veamos otro ejemplo en el que suceda esto:

Hallemos las raíces de . Probando con el 2:

De lo anterior se deduce que:

Probando de nuevo con el 2:

De lo anterior se deduce que:

Sin embargo, no importa con qué número probemos a continuación, que no podremos reducirlo más. 

Es decir, tiene 2 raíces iguales en . Además, se puede descomponer (factorizar) de la forma:

Ejercicios Resueltos:

1. Calcular el resto de las siguientes divisiones aplicando el teorema del resto:

a) entre

b) entre

c) entre

d) entre

e) entre

Solución

a) entre :

b) entre :

c) entre

d) entre

e) entre

 

2. Factorice los siguientes polinomios:

a)

b)

c)

d)

e)

Solución

a)

b)

c)

 

d)

 

e)