Ecuaciones Exponenciales

¿Qué son?

Son ecuaciones en las que la incógnita está contenida en un exponente. Algunos ejemplos:

,

¿Cómo se resuelven?

No existe un método general y único para resolver este tipo de ecuaciones, sino que, valiéndonos de los logaritmos y de las propiedades de las potencias en cada caso las resolveremos de una forma.

Las propiedades de las potencias son:

Será útil recordar también las propiedades de los logaritmos, entre ellas:

Ejemplos resueltos

Si tenemos solo una potencia en la ecuación bastará con aplicar un logaritmo en esa base a ambos lados:

Si tenemos más de una potencia con igual base en algunos casos podremos convertirla en una ecuación de segundo grado:

Hacemos el cambio de variable   y la ecuación se transforma en:

Obtenemos dos valores de y:

Deshacemos el cambio de variable para calcular las soluciones:

Si tenemos más de una potencia con diferente base deberemos comprobar primero si pueden ponerse con igual base:

Comprobamos la solución:

A veces no será posible descomponer todo en una misma base, pero será muy útil descomponerlo en bases que sean números primos:

Comprobamos la solución :

Es válida.

Ejercicios resueltos

1. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas (no olvide comprobar que sus resultados son correctos):

a)

b)

c)

d)

e)

Solución

a)

Comprobamos la solución:

b)

Hacemos el cambio de variable y obtenemos la ecuación:

Deshacemos el cambio de variable para obtener las soluciones:

c)

Comprobamos la solución:

Es válida.

d)

Comprobamos la solución:

Es válida.

e)

Hacemos el cambio de variable :

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las soluciones:

Comprobamos la solución:

Es válida.