Punto genérico de una recta en el espacio

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
11 de febrero 2025

Calcular el punto genérico de una recta en el espacio

En los ejercicios es habitual que aparezca la condición: “un punto que pertenece a la recta”. Cuando un punto pertenece a una recta, cumple todas su ecuaciones. Por tanto, si tenemos la recta r:

Punto genérico de una recta en el espacio

Cualquier punto genérico que pertenezca a la recta r tendrá la forma:

Punto genérico de una recta en el espacio

De esta manera podemos expresar el punto en función de un parámetro.

 

Ejercicios resueltos

1. Calcular los puntos de la recta r cuya distancia al plano es igual a 1:

Solución

Pasamos la recta r a paramétricas:

Punto genérico de una recta en el espacio

Como queremos calcular los puntos de la recta que cumplen cierta condición, deben cumplir sus ecuaciones y tendrán la forma:

Punto genérico de una recta en el espacio

Los puntos deben tener una distancia al plano igual a 1. Aplicaremos la ecuación distancia de punto – plano:

Punto genérico de una recta en el espacio
Punto genérico de una recta en el espacio

Deshacemos el valor absoluto:

Punto genérico de una recta en el espacio
Punto genérico de una recta en el espacio
Punto genérico de una recta en el espacio

Hay dos puntos que cumplen esta condición:

Punto genérico de una recta en el espacio
Punto genérico de una recta en el espacio

 

2. Los puntos Punto genérico de una recta en el espacio y Punto genérico de una recta en el espacio son dos vértices de un triángulo. El tercero, C, pertenece a la recta Punto genérico de una recta en el espacio. Además, la recta que une A y C es perpendicular a la recta r.

Solución

Aunque no lo parezca, la recta r viene en ecuación general, la pasamos a paramétricas:

Punto genérico de una recta en el espacio

El vértice C, por pertenecer a la recta r, tendrá la forma:

Punto genérico de una recta en el espacio

Como la recta que une A y C es perpendicular a r, sus vectores directores serán perpendiculares, por tanto, su producto escalar es igual a cero:

Punto genérico de una recta en el espacio
Punto genérico de una recta en el espacio
Punto genérico de una recta en el espacio

El punto C es igual a:

Punto genérico de una recta en el espacio

 

Vídeo complementario

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