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En los ejercicios es habitual que aparezca la condición: “un punto que pertenece a la recta”. Cuando un punto pertenece a una recta, cumple todas su ecuaciones. Por tanto, si tenemos la recta r:
Cualquier punto genérico que pertenezca a la recta r tendrá la forma:
De esta manera podemos expresar el punto en función de un parámetro.
1. Calcular los puntos de la recta r cuya distancia al plano es igual a 1:
Solución
Pasamos la recta r a paramétricas:
Como queremos calcular los puntos de la recta que cumplen cierta condición, deben cumplir sus ecuaciones y tendrán la forma:
Los puntos deben tener una distancia al plano igual a 1. Aplicaremos la ecuación distancia de punto – plano:
Deshacemos el valor absoluto:
Hay dos puntos que cumplen esta condición:
2. Los puntos y
son dos vértices de un triángulo. El tercero, C, pertenece a la recta
. Además, la recta que une A y C es perpendicular a la recta r.
Solución
Aunque no lo parezca, la recta r viene en ecuación general, la pasamos a paramétricas:
El vértice C, por pertenecer a la recta r, tendrá la forma:
Como la recta que une A y C es perpendicular a r, sus vectores directores serán perpendiculares, por tanto, su producto escalar es igual a cero:
El punto C es igual a: