Punto genérico de una recta en el espacio

Calcular el punto genérico de una recta en el espacio

En los ejercicios es habitual que aparezca la condición: “un punto que pertenece a la recta”. Cuando un punto pertenece a una recta, cumple todas su ecuaciones. Por tanto, si tenemos la recta r:

Cualquier punto genérico que pertenezca a la recta r tendrá la forma:

De esta manera podemos expresar el punto en función de un parámetro.

Ejercicios resueltos

1. Calcular los puntos de la recta r cuya distancia al plano es igual a 1:

Solución

Pasamos la recta r a paramétricas:

Como queremos calcular los puntos de la recta que cumplen cierta condición, deben cumplir sus ecuaciones y tendrán la forma:

Los puntos deben tener una distancia al plano igual a 1. Aplicaremos la ecuación distancia de punto – plano:

Deshacemos el valor absoluto:

Hay dos puntos que cumplen esta condición:

 

2. Los puntos y son dos vértices de un triángulo. El tercero, C, pertenece a la recta . Además, la recta que une A y C es perpendicular a la recta r.

Solución

Aunque no lo parezca, la recta r viene en ecuación general, la pasamos a paramétricas:

El vértice C, por pertenecer a la recta r, tendrá la forma:

Como la recta que une A y C es perpendicular a r, sus vectores directores serán perpendiculares, por tanto, su producto escalar es igual a cero:

El punto C es igual a:

 

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