Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones

Ejercicios resueltos

1. Calcular la distancia entre los siguientes planos paralelos:

Solución

Como los planos son paralelas, calculamos la distancia de un punto de uno de ellos, como , al otro plano, .

Si los planos fueran secantes o coincidentes, la distancia sería cero.

Para calcular un punto del plano, damos dos valores cualesquiera a dos de las variables del plano y despejamos la tercera. Esto se debe a que un plano es un sistema compatible indeterminado con tres incógnitas y dos ecuaciones (dos parámetros).

Sustituimos en fórmula:

 

2. Estudiar la posición relativa y calcular la distancia entre la recta y el plano :

Solución

Para calcular la posición relativa entre recta y plano, debemos resolver el sistema formado por ambos; en función del número de veces que se corten, tendremos su posición relativa.

Pasamos la recta a paramétricas:

Sustituimos en el plano:

No hay punto de corte. Son paralelos.

Para calcular la distancia entre ellos, calculamos un punto de la recta y aplicamos la fórmula distancia punto – plano.

 

3. Calcular la distancia entre las siguientes rectas paralelas:

Solución

Como las rectas son paralelas, calculamos la distancia de un punto de una de ellas, como , a la otra recta, .

Si las rectas fueran secantes o coincidentes la distancia sería cero.

Calculamos los términos de la fórmula:

Sustituimos en fórmula:

 

4. Calcular la distancia mínima entre las siguientes rectas que se cruzan en el espacio:

Solución

Calculamos los vectores directores de ambas rectas y el vector de sus puntos:

Calculamos los términos de la fórmula:

Sustituimos y operamos:

 

5. Calcular la mínima distancia entre las siguientes rectas:

Solución

Pasamos las rectas a paramétricas:

  

              

Estudiamos la posición relativa calculando el determinante:

Las dos rectas se cruzan en el espacio.

Calculamos la distancia aplicando la fórmula:

 

6. Dada la recta , el punto y un plano :

a) Calcula el punto de la recta que verifica .

b) Se sabe que y que . Determina la ecuación del plano .

Solución

a) Calcula el punto de la recta que verifica :

Como el punto pertenece a la recta , tendrá que cumplir sus ecuaciones. Pasamos la recta de general a paramétricas y expresamos el punto en función de las ecuaciones de la recta.

Imponemos la condición de distancia:
 

El punto es:

b) Se sabe que y que . Determina la ecuación del plano :

De la condición de distancias podemos razonar que la mínima distancia entre el punto P y el plano es igual a la distancia entre los puntos, por tanto, el vector es un vector perpendicular al plano (la mínima distancia siempre es la perpendicular).

Sustituyendo el vector normal en la ecuación general del plano:

Sustituimos el punto para calcular D:

La ecuación final del plano es:

 

7. Sea el punto perteneciente a un plano . Calcula:

a) La ecuación del plano sabiendo que pertenece a la recta perpendicular a que pasa por el punto A.

b) La ecuación de un plano paralelo a y que esté a distancia 3 unidades del mismo.

Solución

a) La ecuación del plano sabiendo que pertenece a la recta perpendicular a que pasa por el punto A:

El vector es perpendicular al plano , por tanto, equivale a su vector normal.

Sustituimos las coordenadas en la ecuación general del plano:

Sustituimos el punto que pertenece al plano para calcular D:

La ecuación del plano será:

b) La ecuación de un plano paralelo a y que esté a distancia 3 unidades del mismo:

Buscamos la ecuación de un plano paralelo a . Si son paralelos, su vector normal será el mismo, solo cambia la constante . 

Sabemos que ambos planos son paralelos y están a una distancia de 3 unidades. Por tanto, la distancia del punto ) al plano vale tres:

Deshacemos el valor absoluto:

La ecuación del plano puede ser:

 

8. Considere el plano y el punto :

a) Un punto en el plano tal que la recta determinada por y sea perpendicular al plano .

b) Los puntos en la recta tales que la distancia de a sea el doble de la distancia de a

Solución

a) Un punto en el plano tal que la recta determinada por y sea perpendicular al plano :

Siendo la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano es el vector director de la recta:

Por tanto, la ecuación de la recta es:

b) Los puntos en la recta tales que la distancia de a sea el doble de la distancia de a

Imponemos la condición de distancia que nos indica en el enunciado. Si los puntos pertenecen a la recta seguirán la forma de sus ecuaciones.

Calculamos la distancia del punto al plano:

Calculamos la distancia del punto al plano:

Igualamos:

Los puntos son:

 

9. Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano sabiendo que pasa por los puntos .

Solución

Calculamos la ecuación del plano , a partir del punto A y de los vectores directores

Calculamos la distancia del plano al origen de coordenadas .

 

Vídeo complementario