Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
11 de febrero 2025

Ejercicios resueltos

1. Calcular la distancia entre los siguientes planos paralelos:

Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano

Solución

Como los planos son paralelas, calculamos la distancia de un punto de uno de ellos, como Calcular la distancia entre un punto y un plano, al otro plano, Calcular la distancia entre un punto y un plano.

Calcular la distancia entre un punto y un plano

Si los planos fueran secantes o coincidentes, la distancia sería cero.

Para calcular un punto del plano, damos dos valores cualesquiera a dos de las variables del plano y despejamos la tercera. Esto se debe a que un plano es un sistema compatible indeterminado con tres incógnitas y dos ecuaciones (dos parámetros).

Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano

Sustituimos en fórmula:

Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano

 

2. Estudiar la posición relativa y calcular la distancia entre la recta Calcular la distancia entre un punto y un plano y el plano Calcular la distancia entre un punto y un plano:

Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano

Solución

Para calcular la posición relativa entre recta y plano, debemos resolver el sistema formado por ambos; en función del número de veces que se corten, tendremos su posición relativa.

Pasamos la recta a paramétricas:

Calcular la distancia entre un punto y un plano

Sustituimos en el plano:

Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano

No hay punto de corte. Son paralelos.

Para calcular la distancia entre ellos, calculamos un punto de la recta y aplicamos la fórmula distancia punto – plano.

Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano
Calcular la distancia entre un punto y un plano

 

3. Calcular la distancia entre las siguientes rectas paralelas:

Calcular la distancia de un punto a una recta
Calcular la distancia de un punto a una recta

Solución

Como las rectas son paralelas, calculamos la distancia de un punto de una de ellas, como Calcular la distancia de un punto a una recta, a la otra recta, Calcular la distancia de un punto a una recta.

Calcular la distancia de un punto a una recta

Si las rectas fueran secantes o coincidentes la distancia sería cero.

Calcular la distancia de un punto a una recta
Calcular la distancia de un punto a una recta
Calcular la distancia de un punto a una recta

Calculamos los términos de la fórmula:

Calcular la distancia de un punto a una recta

Sustituimos en fórmula:

Calcular la distancia de un punto a una recta

 

4. Calcular la distancia mínima entre las siguientes rectas que se cruzan en el espacio:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Solución

Calculamos los vectores directores de ambas rectas y el vector de sus puntos:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan
Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan
Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Calculamos los términos de la fórmula:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan
Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Sustituimos y operamos:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

 

5. Calcular la mínima distancia entre las siguientes rectas:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan
Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Solución

Pasamos las rectas a paramétricas:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan   Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan               Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Estudiamos la posición relativa calculando el determinante:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

Las dos rectas se cruzan en el espacio.

Calculamos la distancia aplicando la fórmula:

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan

 

6. Dada la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones, el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y un plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones:

a) Calcula el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones de la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones que verifica Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones.

b) Se sabe que Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y que Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones. Determina la ecuación del plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones.

Solución

a) Calcula el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones de la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones que verifica Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones:

Como el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones pertenece a la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones, tendrá que cumplir sus ecuaciones. Pasamos la recta de general a paramétricas y expresamos el punto en función de las ecuaciones de la recta.

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Imponemos la condición de distancia:
 

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El punto es:

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b) Se sabe que Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y que Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones. Determina la ecuación del plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones:

De la condición de distancias podemos razonar que la mínima distancia entre el punto P y el plano es igual a la distancia entre los puntos, por tanto, el vector Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones es un vector perpendicular al plano (la mínima distancia siempre es la perpendicular).

Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones
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Sustituyendo el vector normal en la ecuación general del plano:

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Sustituimos el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones para calcular D:

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La ecuación final del plano es:

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7. Sea el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones perteneciente a un plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones. Calcula:

a) La ecuación del plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones sabiendo que Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones pertenece a la recta perpendicular a Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones que pasa por el punto A.

b) La ecuación de un plano paralelo a Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y que esté a distancia 3 unidades del mismo.

Solución

a) La ecuación del plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones sabiendo que Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones pertenece a la recta perpendicular a que pasa por el punto A:

El vector Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones es perpendicular al plano , por tanto, equivale a su vector normal.

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Sustituimos las coordenadas en la ecuación general del plano:

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Sustituimos el punto que pertenece al plano para calcular D:

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La ecuación del plano será:

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b) La ecuación de un plano paralelo a y que esté a distancia 3 unidades del mismo:

Buscamos la ecuación de un plano paralelo a . Si son paralelos, su vector normal será el mismo, solo cambia la constante

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Sabemos que ambos planos son paralelos y están a una distancia de 3 unidades. Por tanto, la distancia del punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones) al plano vale tres:

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Deshacemos el valor absoluto:

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La ecuación del plano puede ser:

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8. Considere el plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y el punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones:

a) Un punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones en el plano tal que la recta determinada por Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones sea perpendicular al plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones.

b) Los puntos Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones en la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones tales que la distancia de Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones a Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones sea el doble de la distancia de Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones a Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones

Solución

a) Un punto Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones en el plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones tal que la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones determinada por Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones y Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones sea perpendicular al plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones:

Siendo la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano es el vector director de la recta:

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Por tanto, la ecuación de la recta Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones es:

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b) Los puntos en la recta tales que la distancia de a sea el doble de la distancia de a

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Imponemos la condición de distancia que nos indica en el enunciado. Si los puntos pertenecen a la recta seguirán la forma de sus ecuaciones.

Calculamos la distancia del punto al plano:

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Calculamos la distancia del punto al plano:

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Igualamos:

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Los puntos son:

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9. Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones sabiendo que pasa por los puntos Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones.

Solución

Calculamos la ecuación del plano Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones, a partir del punto A y de los vectores directores Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones

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Calculamos la distancia del plano al origen de coordenadas Ejercicios resueltos de distancias en tres dimensiones.

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Vídeo complementario

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