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1. Dada la recta 
, el punto 
y un plano 
:
a) Calcula el punto 
de la recta 
que verifica 
.
b) Se sabe que 
y que 
. Determina la ecuación del plano .
Solución
a) Calcula el punto 
de la recta 
que verifica 
.
Como el punto pertenece a la recta , tendrá que cumplir sus ecuaciones. Pasamos la recta de general a paramétricas y expresamos el punto en función de las ecuaciones de la recta.
Imponemos la condición de distancia:
El punto es:
b) Se sabe que 
y que 
. Determina la ecuación del plano 
.
De la condición de distancias podemos razonar que la mínima distancia entre el punto P y el plano es igual a la distancia entre los puntos, por tanto, el vector 
es un vector perpendicular al plano (la mínima distancia siempre es la perpendicular).
Sustituyendo el vector normal en la ecuación general del plano:
Sustituimos el punto 
para calcular D:
La ecuación final del plano es:
2. Sea el punto 
perteneciente a un plano . Calcula:
a) La ecuación del plano sabiendo que 
pertenece a la recta perpendicular a que pasa por el punto A.
b) La ecuación de un plano paralelo a y que esté a distancia 3 unidades del mismo.
Solución
a) La ecuación del plano sabiendo que 
pertenece a la recta perpendicular a que pasa por el punto A.
El vector 
es perpendicular al plano , por tanto, equivale a su vector normal.
Sustituimos las coordenadas en la ecuación general del plano:
Sustituimos el punto 
que pertenece al plano para calcular D:
La ecuación del plano será:
b) La ecuación de un plano paralelo a y que esté a distancia 3 unidades del mismo.
Buscamos la ecuación de un plano 
paralelo a . Si son paralelos, su vector normal será el mismo, solo cambia la constante 
.
Sabemos que ambos planos son paralelos y están a una distancia de 3 unidades. Por tanto, la distancia del punto 
) al plano 
vale tres:
Deshacemos el valor absoluto:
La ecuación del plano puede ser:
3. Considere el plano 
y el punto 
:
a) Un punto 
en el plano tal que la recta determinada por y sea perpendicular al plano .
b) Los puntos 
en la recta tales que la distancia de a sea el doble de la distancia de a 
Solución
a) Un punto 
en el plano tal que la recta determinada por y sea perpendicular al plano .
Siendo la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano es el vector director de la recta:
Por tanto, la ecuación de la recta es:
b) Los puntos 
en la recta tales que la distancia de a sea el doble de la distancia de a 
Imponemos la condición de distancia que nos indica en el enunciado. Si los puntos pertenecen a la recta seguirán la forma de sus ecuaciones.
Calculamos la distancia del punto al plano:
Calculamos la distancia del punto al plano:
Igualamos:
Los puntos son:
4. Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano sabiendo que pasa por los puntos 
.
Solución
Calculamos la ecuación del plano , a partir del punto A y de los vectores directores 
Calculamos la distancia del plano al origen de coordenadas 
.
