Calcular la distancia entre un punto y un plano

Distancia entre un punto y un plano

La distancia entre un punto y un plano en el espacio se calcula a través de la siguiente fórmula:

Sustituimos el punto en la ecuación del plano, aplicando el valor absoluto.

Siempre será la mínima distancia entre punto y plano.

Distancia entre dos planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, escogemos un punto de uno de los planos, el que queramos, y calculamos la distancia de ese punto al otro plano.

Cuando dos planos son paralelos, todos sus puntos se encuentran a la misma distancia, de modo que podemos escoger el punto que queramos.

Es la mínima distancia entre dos planos, siempre será la distancia perpendicular.

Distancia entre una recta y un plano paralelos

Cuando queremos calcular la distancia entre una recta y un plano paralelos, calcularemos la distancia de un punto de la recta al plano. 

Esto se debe a que la mínima distancia será la misma desde cualquier punto de la recta, pero no al revés, por tanto, es importante que se calcule la distancia de un punto de la recta a plano.

Ejercicios resueltos

1. Calcular la distancia del punto al plano:

Solución

Aplicamos la fórmula:

 

2. Calcular la distancia entre los siguientes planos paralelos:

Solución

Como los planos son paralelas, calculamos la distancia de un punto de uno de ellos, como , al otro plano, .

Si los planos fueran secantes o coincidentes, la distancia sería cero.

Para calcular un punto del plano, damos dos valores cualesquiera a dos de las variables del plano y despejamos la tercera. Esto se debe a que un plano es un sistema compatible indeterminado con tres incógnitas y dos ecuaciones (dos parámetros).

Sustituimos en fórmula:

 

3. Estudiar la posición relativa y calcular la distancia entre la recta y el plano :

Solución

Para calcular la posición relativa entre recta y plano, debemos resolver el sistema formado por ambos; en función del número de veces que se corten, tendremos su posición relativa.

Pasamos la recta a paramétricas:

Sustituimos en el plano:

No hay punto de corte. Son paralelos.

Para calcular la distancia entre ellos, calculamos un punto de la recta y aplicamos la fórmula distancia punto – plano.

 

Vídeo complementario