Ecuaciones del plano

Introducción al plano

Un plano es un elemento geométrico de dos dimensiones que contiene a infinitos puntos y rectas. 

Componentes de un plano

Debemos preguntarnos. ¿Qué elementos mínimos necesitamos para dibujar un plano?

Tenemos dos opciones:

• Dos vectores directores y un punto: Dado que un plano tiene dos dimensiones, necesitará dos direcciones, de ahí los dos vectores directores. Al igual que con las rectas, el plano solo utiliza la dirección de los vectores, de modo que necesita un punto para definir exactamente por donde pasa.

  Existen infinitos pares de vectores proporcionales con la misma dirección. Los vectores directores y definen infinitos planos paralelos entre sí. Cuando precisamos que el plano pasa por un punto fijo, , es cuando se define el plano específico que buscamos: . 

  En un plano hay, siempre, dos vectores directores independientes. Si dibujásemos otro vector tendría que ser dependiente de los otros dos.

• Un vector normal (perpendicular) al plano y un punto. Si observamos la mesa sobre la que trabajamos, podemos observar que solo hay un vector independiente perpendicular al plano formado por la mesa (un vector y todos sus vectores paralelos).

  Por tanto, confirmamos que, de un vector normal, , podemos sacar infinitos planos paralelos entre sí y siempre perpendiculares al vector normal. Cuando precisamos que el plano pasa por un punto fijo, , es cuando se define el plano específico que buscamos: . 

Ecuación paramétrica de un plano

Es una ecuación que se utiliza muy poco. Consiste en expresar el plano en función del punto y de sus dos vectores directores.

Sean los dos vectores directores y el punto por el que pasa, tenemos que la ecuación paramétrica del plano se expresa como:

Ecuación general de un plano

La ecuación general de un plano es el tipo de ecuación que se utiliza fundamentalmente en los ejercicios.

Como explicamos en el apartado anterior, tenemos dos formas diferentes para calcularla:

• A partir de dos vectores directores y un punto.
• A partir de un vector normal y un punto.

Es de la forma:

Podemos calcular el vector normal del plano únicamente con las coordenadas A, B y C:

Sentido matemático: Es una ecuación con tres incógnitas. Es un sistema compatible indeterminado que depende de dos parámetros, uno para cada vector director. Si queremos calcularlos y pasar de la ecuación general a la paramétrica, tendríamos que resolver el sistema.

1. Dos vectores directores y un punto.

Sean los dos vectores directores de un plano y el punto por el que pasa, la ecuación general del plano se calcula operando el siguiente determinante:

Siendo el vector normal del plano.

2. Un vector normal y un punto. 

Sea el vector normal del plano y el punto por el que pasa, la ecuación general del plano se calcula sustituyendo el vector y el punto en la ecuación general:

Sustituimos el vector normal:

Sustituimos el punto para calcular D:

Por tanto:

Ejercicios resueltos

1. Calcular la ecuación general de un plano sabiendo que contiene a la recta y es paralelo a la recta :

Solución

Es importante ver analizar qué datos nos dan en el enunciado e identificarlos con las componentes del plano.

El plano contiene a :  El vector director de la recta será vector director del plano. El punto de la recta, además, también será un punto del plano.

El plano es paralelo a la recta : El vector director de la recta será vector director del plano. Solo nos interesa su dirección. Al ser paralelo el vector lleva la misma dirección que el plano.

Tenemos, por tanto, dos vectores directores y un punto del plano:

 

2. Calcular la ecuación de un plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto

Solución

 

Si la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta será el vector normal del plano.

La recta viene en forma general. Se calcula su vector director calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la forman. Recordamos que el producto vectorial calcula un vector perpendicular a los otros dos.

Una vez tenemos el vector normal del plano, sustituimos en la expresión de la ecuación general del plano:

Sustituimos el punto para calcular el término independiente D:

La ecuación del plano será:

 

3. Calcular la ecuación del plano que es perpendicular al plano y que contiene a la recta :

Solución

Si el plano es perpendicular a , su vector normal será paralelo al plano , es decir, será un vector director del plano.

El plano contiene a :  El vector director de la recta será vector director del plano. El punto de la recta, además, también será un punto del plano.

Calculamos la ecuación general del plano con el determinante:

 

4. Calcular la ecuación del plano , paralelo al plano y que pasa por el punto :

Solución

Si los planos son paralelos su vector normal es el mismo:

Sustituimos el vector normal en la ecuación general del plano. Las ecuaciones de los planos cambiarán únicamente en su término independiente

Sustituimos el punto :

La ecuación del plano será, por tanto:

 

5. Calcular la ecuación del plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto de intersección de la recta y el plano

Solución

 

Si la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta será el vector normal del plano.

El punto del plano será la intersección de la recta y el plano . Resolvemos el sistema que forman sus ecuaciones. Sustituimos la recta en el plano:

Sustituimos el parámetro en la recta. El punto de corte es:

Ya podemos calcular la ecuación del plano . Utilizamos el vector normal y el punto .

 

6. Calcular un punto y dos vectores directores del plano

Solución

Para calcular el punto y los dos vectores directores pasamos la ecuación del plano a paramétricas. Para ello tenemos que resolver el sistema asignando un parámetro a dos de las variables que queramos:

Los vectores directores son:

Para calcular el punto del plano le damos a los parámetros el valor que queramos. En este caso les damos valor de cero:

 

Vídeos complementarios