Ecuaciones de la recta

Introducción a la recta

Una misma recta se puede expresar en diferentes tipos de ecuaciones. Para calcular cualquier ecuación de la recta necesitamos un punto por el que pase la recta y un vector director.

Un vector director es un vector que indica la dirección que lleva la recta, es decir, únicamente nos interesa su dirección. Por tanto, podremos utilizar vectores paralelos a la recta o cualquier vector proporcional, siempre y cuando tengan la misma dirección.

Ecuación paramétrica de la recta

La ecuación paramétrica de una recta es una expresión que representa matemáticamente el concepto geométrico de la recta. Para calcularla, necesitamos conocer un punto por el que pasa la recta ( y un vector director de la recta (

Se expresa:

Ejemplo: La recta pasa por el punto y es paralela a la recta , calcula la ecuación paramétrica de la recta :

Como las rectas son paralelas, podemos utilizar el vector director de s como vector director de r:

La ecuación paramétrica de r es:

Ecuación continua de la recta

La ecuación continua de una recta es una expresión que representa matemáticamente el concepto geométrico de la recta. 

Para calcularla, necesitamos conocer un punto por el que pasa la recta y un vector director de la recta

Parte de la ecuación paramétrica de la recta:

Despejando el parámetro de cada ecuación e igualándolo, para obtener una igualdad triple:

La ecuación continua será:

¡Ojo! El vector está siempre en el denominador. El numerador debe ser siempre la variable menos la coordenada del punto.

Ejemplo: Calcular la ecuación continua de la recta r, que pasa por el punto y es paralela al vector .

Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta es una expresión que representa matemáticamente el concepto geométrico de la recta. 

Parte de la ecuación continua de la recta:

Igualamos las tres expresiones dos a dos, obtenemos dos ecuaciones diferentes:

Obtendremos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, es decir, un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones (la recta tiene infinitos puntos). Para sacar un punto y un vector podemos resolver el sistema en función de un parámetro y expresándola en ecuaciones paramétricas.

Ejemplo: Calcular un punto y un vector director de la siguiente recta:

Como es un sistema compatible indeterminado (2 ecuaciones para tres incógnitas), damos un parámetro a una de las variables y despejamos las demás:

Ya tenemos la ecuación paramétrica de la recta.

Ejercicios resueltos

1. Calcular un punto y el vector director de la recta r dada en forma continua:

Solución

Un punto por el que pasa la recta es:

El vector director de la recta es:

 

2. Calcular un punto y el vector director de la recta dada en forma continua:

Solución

La recta viene dada en forma continua pero algo modificada, debemos convertirla para llegar a la expresión correcta.

Por tanto:

Un punto por el que pasa la recta es:

El vector director de la recta es:

 

3. Calcular la ecuación continua de la recta , perpendicular a la recta r y que pasa por el punto .

Solución

El vector director de es:

Un vector perpendicular a y, por tanto, director de la recta , será:

Para calcular un vector perpendicular a otro, solo tenemos que intercambiar el orden de dos de las coordenadas y cambiar el signo de una de ellas, manteniendo la tercera en cero. De esta manera, el producto escalar será cero y los vectores serán perpendiculares:

Por tanto, la ecuación continua de la recta s será:

 

4. Calcular la ecuación continua de la recta , paralela a la recta y que pasa por el punto .

Solución

Si las rectas son paralelas, sus vectores directores serán los mismos:

La ecuación continua de la recta , será:

 

5 Calcular la ecuación de la recta r, que es paralela a la recta s y pasa por el punto

Solución

Las rectas son paralelas, por tanto, el vector director de s será el vector director de r:

Para calcular el vector director de s, podemos resolver el sistema y pasar la ecuación o paramétricas, o calcular el producto vectorial con los vectores normales que forman la recta s.

La recta s viene formada por dos ecuaciones, cada una de las cuales corresponde a un plano:

Los vectores normales de los planos corresponden a los coeficientes de las variables x,y,z. Sacamos los vectores normales:

El vector perpendicular a ambos vectores será el vector director de la recta s. Por tanto, calculamos su producto vectorial:

La ecuación de la recta r será:

 

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