Posición relativa de dos rectas en el espacio

Posición relativa de dos rectas en el espacio

Estudiar la posición relativa de dos rectas consiste en determinar que posición guardan las rectas entre sí. Para ello debemos plantearnos: ¿Cómo pueden estar dispuestas dos rectas en el espacio? Hay cuatro posibilidades posibles:

1. Las rectas se cruzan. Están en planos diferentes (espacio) y no se cortan.

2. Las rectas son secantes. Se cortan en un punto.

3. Las rectas son paralelas. No se cortan.

4. Las rectas son coincidentes. Se cortan en infinitos puntos.

Para calcular la posición relativa de dos rectas debemos evaluar los vectores directores de las rectas y el vector formado por sus puntos. De estos tres vectores extraeremos toda la información que necesitamos para estudiar su posición relativa:

La posición relativa dependerá del rango del determinante formado por estos vectores. Recordamos que el rango indica el número de vectores independientes entre sí:

Seguiremos el flujo del siguiente diagrama:

• Si los vectores directores son independientes el rango valdrá 2 o 3. Tiene que valer 2 como mínimo.

   

  • Si el rango es 2, dos vectores son independientes y ambas rectas se encuentran en el mismo plano. Como sus vectores directores tienen distintas direcciones (no son proporcionales), las rectas son secantes.

  • Si el rango es 3, los tres vectores son independientes y las rectas se encuentran en el espacio. Están en planos diferentes. Las rectas se cruzan.

     

• Si los vectores directores no son independientes el rango del determinante valdrá 1 o 2.

   

  • Si el rango es 2, dos vectores son independientes y las rectas forman un plano. Como sus vectores directores son proporcionales y tienen la misma dirección, las rectas son paralelas.
  • Si el rango es 1, solamente uno de esos tres vectores es independiente y los demás son proporcionales. Por tanto, las dos rectas formarán una recta y serán coincidentes.

Ejercicios resueltos

1. Calcular la posición relativa del siguiente par de rectas:

Solución

Calculamos los vectores directores y el vector de los puntos:

Hacemos el determinante formado por los tres vectores:

Vemos que son independientes:

Estudiamos el rango del determinante:

Si el rango es tres. Las rectas se encuentran en dos planos diferentes. Las rectas se cruzan.

2. Calcular la posición relativa del siguiente par de rectas. Calcular su punto de corte, en caso de ser secantes.

Solución

Calculamos los vectores directores y el vector de los puntos para estudiar el determinante:

Calculamos vector y el punto de la recta  

Pasamos la recta a paramétricas. Restamos la primera ecuación a la segunda:

Fijamos y despejamos las otras dos variables:

Calculamos el vector y el punto de la recta  

Expresamos y estudiamos el determinante formado por los tres vectores:

Echándole un vistazo al determinante podemos ver que los vectores directores son independientes pero el vector de la recta y el de los puntos no lo es. Por tanto, el rango del determinante vale dos y las rectas son secantes.

 

Calculamos el punto de corte resolviendo el sistema formado por ambas. Expresamos ambas rectas en paramétricas, igualamos las variables, calculamos los parámetros y sustituimos para sacar el punto de corte.

Es muy importante nombrar diferente a ambos parámetros:

Ojo al resolver el sistema: La primera y la segunda ecuación son la misma. Hay que sustituir la segunda en la tercera.

El punto de corte es:

 

3. Calcular la posición relativa del siguiente par de rectas:

Solución      

Calculamos los vectores directores y el vector de los puntos:

Calculamos vector y el punto de la recta  





Calculamos vector y punto de la recta  

Expresamos y estudiamos el determinante formado por los tres vectores:

Echándole un vistazo al determinante podemos ver que los vectores directores son dependientes y que el rango del determinante es igual a dos:

Las rectas son paralelas.

4. Calcular la posición relativa del siguiente par de rectas:

Solución     

Calculamos los vectores directores y el vector de los puntos:

Calculamos vector y punto de la recta  





Calculamos vector y punto de la recta  

Expresamos y estudiamos el determinante formado por los tres vectores:

Echando un vistazo al determinante podemos ver que los tres vectores son proporcionales:

Por tanto:

Las rectas son coincidentes.

5. Siendo la recta que determinan los puntos y  y la recta definida por:

a) Estudia su posición relativa.

b) Determina un punto de la recta tal que los vectores y sean perpendiculares.

Pasamos la recta a paramétricas:

Estudiamos el determinante formado por los tres vectores:

El determinante vale cero porque la primera y la tercera columna son iguales. Los vectores directores son independientes y el rango del determinante es igual a dos. Las rectas se encuentran en el mismo plano y tienen direcciones diferentes (sus vectores directores son independientes). Por tanto, tienen que cortarse. Las rectas son secantes.

b) Determina un punto de la recta tal que los vectores y sean perpendiculares:

,

Nos piden que calculemos un punto de la recta . Si pertenece a la recta, tiene que cumplir sus ecuaciones:

Calculamos los vectores y e imponemos la condición de proporcionalidad:

Si los vectores son proporcionales

El punto puede ser:

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