Posición relativa de recta y plano

Posición relativa de recta y plano

Estudiar la posición relativa de una recta y un plano consiste en determinar que posición guardan entre sí. Para ello debemos plantearnos: ¿Cómo pueden estar dispuestos en el espacio?

1. Recta y plano son secantes:

2. Recta y plano son paralelos:

3. Recta y plano son coincidentes: 

La posición relativa del sistema recta – plano depende del número de veces que se cortan:

1. Si se cortan una vez, serán secantes

2. Si no se cortan ninguna vez, serán paralelos.

3. Si se cortan infinitas veces, serán coincidentes.

Por tanto, resolveremos el sistema recta plano para ver cuantas soluciones presentan y determinar su posición relativa.

Ejemplo: Calcular la posición relativa del siguiente sistema recta – plano:

Solución

Para resolver el sistema, lo ideal es sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación general del plano:

Hemos obtenido un valor de por tanto, se van a cortar en un punto, que será el que obtengamos al sustituir en la ecuación de la recta:

Son secantes.

Si al resolver el sistema llegamos a una expresión sin sentido del tipo , significa que el sistema nunca se corta y recta y plano serán paralelos.

Si al resolver el sistema llegamos a una expresión obvia del tipo , significa que el sistema se corta siempre y recta y plano serán coincidentes.

Ejercicios resueltos

1. Calcular la posición relativa de la recta y el plano:

Solución

Pasamos la recta a paramétricas:

Sustituimos la recta en el plano:

Como llegamos a una expresión que se cumple siempre, significa que la recta y plano se cortan siempre, son coincidentes.

2. Calcular la posición relativa de la recta y el plano:

Solución

Pasamos la recta a paramétricas:

Sustituimos las ecuaciones de la recta en el plano:

Se cortan en un punto. Son secantes. El punto de corte es:

 

3. Calcular la posición relativa de la recta y el plano:

Solución

Pasamos la recta a paramétricas:

Sustituimos:

Recta y plano son paralelos.

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