Energía potencial electrostática y Trabajo

La energía potencial eléctrica es fundamental para entender cómo interactúan las cargas en un sistema. Al considerar las fuerzas eléctricas y externas, podemos analizar y predecir el comportamiento energético de las cargas en movimiento.

Energía potencial electrostática

Al estudiar la energía potencial gravitatoria, aprendimos que un objeto situado a cierta altura sobre la superficie terrestre posee una energía potencial debido a la fuerza de gravedad. De manera similar, una carga eléctrica sometida a una fuerza eléctrica adquiere energía potencial eléctrica ().

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica al mover una carga desde un punto hasta un punto se expresa como:

donde denota la fuerza eléctrica electrostática y está dada por la Ley de Coulomb:

para dos cargas y , separadas por una distancia .

La expresión anterior indica que solo podemos calcular diferencias de energía (), y que la energía potencial en un punto es siempre un valor relativo respecto a otro. Sin embargo, para definir un valor absoluto, tomamos como referencia un punto en el infinito. A esa distancia, la fuerza eléctrica es nula y, por tanto, la energía potencial eléctrica también es cero. Aplicando esta consideración, obtenemos:

“La energía potencial eléctrica de una carga en una posición es igual al trabajo realizado por una fuerza externa para llevarla desde el infinito hasta , o, equivalentemente, el opuesto del trabajo realizado por la fuerza eléctrica en ese trayecto.”

Si tenemos dos cargas puntuales y , el trabajo necesario para acercar desde el infinito hasta un punto cercano a es:

Teniendo en cuenta que y usando la regla de Barrow, se sigue que:

Además, antes vimos que 

Por lo tanto, la expresión de la energía potencial es:

donde:

• es la energía potencial eléctrica medida en julios ().

• y son las cargas puntuales medidas en culombios ().

• es la distancia entre las cargas medida en metros ().

• es la constante de Coulomb, dada por

Para un sistema con varias cargas puntuales, el principio de superposición nos dice que la energía potencial total es la suma de las energías potenciales entre cada par de cargas:

donde:

• es el número total de cargas.

• y son las cargas puntuales.

• es la distancia entre las cargas y .

Por ejemplo, si tenemos un sistema con cargas, la expresión anterior se reduce a:

“La energía potencial de un conjunto de múltiples cargas puntuales se define como el trabajo que una fuerza externa debe realizar para posicionar cada carga en su ubicación específica, trayéndolas desde una distancia infinita.”

Recordemos que el campo eléctrico es conservativo, como el campo gravitatorio, por lo que también estamos en condiciones de aplicar el principio de la conservación de la energía mecánica:

Se puede comprobar que una disminución en la energía potencial implica un aumento en la energía cinética y viceversa. De hecho, se puede deducir la siguiente relación:

Esto implica que si una partícula se encuentra en una zona donde existe una diferencia de potencial, entonces ganará energía cinética.

Trabajo

Cuando se aplica una fuerza sobre un objeto y este se desplaza, decimos que dicha fuerza realiza un trabajo. De manera análoga, si una carga eléctrica se mueve bajo la influencia de una fuerza eléctrica, esta fuerza efectúa un trabajo conocido como trabajo eléctrico.

Ya sabemos que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica al mover una carga desde un punto hasta un punto se expresa como:

De forma más simplificada, se puede escribir:

Recordamos también que la fuerza eléctrica, descrita por la Ley de Coulomb, es una fuerza central y, por lo tanto, una fuerza conservativa. Esto conlleva las siguientes propiedades:

• Independencia del camino: El trabajo realizado por una fuerza eléctrica al mover una carga desde el punto hasta el punto depende únicamente de las posiciones inicial y final, y no de la trayectoria seguida entre ambos puntos.

• Trabajo nulo en ciclos cerrados: Si una carga recorre un camino cerrado, es decir, regresa al punto de partida, el trabajo eléctrico total realizado es igual a cero.

Intuitivamente, si una fuerza eléctrica actúa sobre una carga, esta debería moverse en la dirección de dicha fuerza, similar a cómo una taza se desplaza en la dirección de una fuerza aplicada sobre ella en una mesa. Sin embargo, en muchas situaciones, la carga no se desplaza exactamente en la dirección de la fuerza eléctrica. Esto sugiere la presencia de una fuerza externa que modifica el desplazamiento natural de la carga.

Al calcular el trabajo eléctrico realizado por una fuerza eléctrica, obtenemos:

• Trabajo positivo: Cuando la fuerza eléctrica contribuye al desplazamiento natural de la carga.

• Trabajo negativo: Cuando la fuerza eléctrica se opone al desplazamiento natural de la carga.

Si el trabajo eléctrico es negativo, necesariamente debe existir una fuerza externa que realiza un trabajo para contrarrestar al menos el trabajo eléctrico. Si además de la fuerza eléctrica actúa una fuerza externa sobre una carga, se cumple:

donde:

• ​ es el trabajo realizado por la fuerza eléctrica al mover la carga de a .

• es el trabajo realizado por la fuerza externa al mover la carga de a .

Debido a ello, el trabajo realizado por la fuerza externa para trasladar la carga desde el infinito hasta una posición A es:

Esta relación asegura que el sistema cumpla con la conservación de la energía, donde el trabajo realizado por la fuerza externa compensa el trabajo realizado por la fuerza eléctrica.

Ejercicios resueltos

1. Dos cargas puntuales y se encuentran separadas por una distancia . La carga es de y la carga es de . Calcula la energía potencial electrostática del sistema.

Solución

La energía potencial electrostática entre dos cargas puntuales se calcula con la fórmula:

donde:

,

,

.

Sustituyendo los valores:

Por lo tanto, la energía potencial electrostática del sistema es . Nótese que el signo negativo implica que las cargas se atraen entre sí, o, lo que es lo mismo, se requiere energía positiva para separar las cargas y llevarlas al infinito, contrarrestando la atracción natural entre ellas

2. Una carga puntual es llevada desde el infinito hasta una distancia de de una carga fija . Calcula el trabajo realizado por la fuerza externa para realizar este desplazamiento.

Solución

El trabajo realizado por la fuerza externa al mover una carga desde el infinito hasta una distancia 𝑟 de otra carga se relaciona con la energía potencial electrostática:

donde

Entonces,

Sustituyendo los valores proporcionados por el enunciado:

Por lo tanto, el trabajo que debe realizar una fuerza externa es . Nótese que, de no existir dicha fuerza, este movimiento no hubiera sido causado de manera natural por el campo eléctrico.

 

3. Considera un sistema con tres cargas puntuales ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado . Las cargas son , y . Calcula la energía potencial total del sistema.

Solución

Para un sistema de tres cargas, la energía potencial total se obtiene sumando las energías potenciales entre cada par de cargas:

Dado que el triángulo es equilátero, todas las distancias son iguales:

Entonces, la expresión anterior se puede escribir como:

Sustituyendo los valores del enunciado:

Operando:

Por lo tanto, la energía potencial total del sistema es .