Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica y Fuerza entre dos conductores rectilíneos.

Una corriente eléctrica consiste en un flujo de cargas eléctricas en movimiento a lo largo de un conductor. Cuando este flujo de cargas se encuentra en presencia de un campo magnético, experimenta una fuerza magnética.

Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica

Consideremos un conductor rectilíneo de sección transversal 𝐴 por el que circula una corriente eléctrica 𝐼. Cuando este conductor se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme , cada carga en movimiento dentro del conductor experimenta una fuerza magnética individual. La fuerza total que actúa sobre el conductor es la suma de las fuerzas individuales sobre todas las cargas en movimiento.

Supongamos que:

• es la densidad de cargas (número de cargas por unidad de volumen).

• 𝑞 es la carga de cada portador de carga.

• es la velocidad de desplazamiento de las cargas.

• 𝑙 es la longitud del conductor dentro del campo magnético.

El número de cargas en un elemento de volumen de longitud 𝑙 es:

Cada carga 𝑞 experimenta una fuerza magnética dada por la ley de Lorentz:

La fuerza total sobre el conductor es entonces:

Dado que la corriente eléctrica 𝐼 está relacionada con la densidad de cargas y su velocidad mediante la expresión:

podemos sustituir por en la expresión de la fuerza total:

donde es el vector unitario en la dirección del conductor.

Si definimos el vector como un vector de módulo igual a la longitud del conductor 𝑙, con dirección y sentido que indica la dirección de la corriente, entonces la expresión de la fuerza puede escribirse de manera más compacta como:

De las propiedades del producto vectorial se deduce que si el campo magnético   es paralelo al conductor, es decir, si el ángulo entre y es cero, entonces la fuerza magnética es nula.

Si el conductor no es rectilíneo, pero mantiene una sección transversal constante y se encuentra en un campo magnético que puede no ser uniforme, la fuerza magnética total sobre el conductor se calcula mediante una integral a lo largo de la trayectoria del conductor. Consideramos un elemento diferencial de longitud por el que circula una corriente 𝐼. La fuerza diferencial sobre este elemento es:

Para obtener la fuerza total , integramos a lo largo de todo el conductor:

Si el campo magnético es uniforme a lo largo de todo el conductor, la integral se simplifica ya que puede sacarse de la integral:

donde es el vector que une los puntos inicial () y final () del conductor, independientemente de la forma real del mismo. Esto implica que, en un campo magnético uniforme, la fuerza total ejercida sobre un conductor de forma arbitraria es la misma que si el conductor fuera rectilíneo y conectado entre los puntos y . Por lo tanto,

Fuerza entre dos conductores rectilíneos

Cuando dos conductores rectilíneos paralelos transportan corrientes eléctricas, interactúan entre sí a través de sus campos magnéticos. Esta interacción da lugar a fuerzas que pueden ser atractivas o repulsivas, dependiendo de la dirección de las corrientes en cada conductor.

Consideremos dos conductores rectilíneos y paralelos, separados por una distancia 𝑎. Supongamos que:

• Conductor 1: Transporta una corriente eléctrica .

• Conductor 2: Transporta una corriente eléctrica .

Cada conductor genera un campo magnético a su alrededor debido al movimiento de las cargas eléctricas. El campo magnético generado por el conductor 1 en la posición del conductor 2 puede calcularse utilizando la ley de Biot-Savart para un conductor rectilíneo:

donde:

• es la permeabilidad del vacío:

• es el vector unitario en la dirección tangencial al círculo imaginario alrededor del conductor.

De manera similar, el conductor 2 genera un campo magnético en la posición del conductor 1:

La fuerza magnética que actúa sobre el conductor 2 debido al campo magnético generado por el Conductor 1 se determina mediante la ley de Lorentz para una corriente en un campo magnético (véase la sección anterior):

donde es el vector que representa la longitud del conductor en la dirección de la corriente. Para simplificar, consideramos una longitud 𝑙 suficientemente pequeña para que el campo magnético sea aproximadamente uniforme sobre dicha longitud. Sustituyendo :

donde es el vector unitario perpendicular tanto a como a , determinando la dirección según la regla de la mano derecha.

De manera análoga, la fuerza que actúa sobre el conductor 1 debido al campo magnético es:

donde tiene sentido opuesto a , cumpliendo así la tercera ley de Newton (acción y reacción).

Para generalizar y facilitar el cálculo, es común expresar la fuerza por unidad de longitud. Dividiendo las ecuaciones anteriores por , obtenemos:

Esta expresión muestra que la fuerza entre dos conductores rectilíneos paralelos es directamente proporcional al producto de las corrientes que transportan y inversamente proporcional a la distancia que los separa.

La dirección de la fuerza depende de la dirección relativa de las corrientes en los conductores:

• Corrientes en el Mismo Sentido: Si e fluyen en la misma dirección, las fuerzas y son atractivas los conductores tenderán a acercarse.

• Corrientes en Sentido Contrario: Si e fluyen en direcciones opuestas, las fuerzas son repulsivas los conductores tenderán a alejarse.

La ley de la fuerza entre dos conductores paralelos también se utiliza para definir la unidad de corriente eléctrica, el Ampere (). Según esta definición:

“Un Ampere es la corriente que, circulando por dos conductores paralelos infinitamente largos y separados por 1 metro, produce una fuerza de entre ellos.”

Ejercicios resueltos

1. Un conductor rectilíneo de de longitud está situado en un campo magnético uniforme de magnitud . El conductor transporta una corriente de y está orientado de manera que forma un ángulo de con la dirección del campo magnético. Calcula la magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa sobre el conductor.

Solución

La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo en un campo magnético se calcula mediante la expresión:

 

 

Sustituyendo los valores dados por el enunciado:

Además, por la regla de la mano derecha sabemos que esta fuerza forma con el campo magnético.

Por lo tanto, la fuerza es y es perpendicular al campo magnético.

2. Dos conductores rectilíneos y paralelos de longitud infinita están separados por una distancia de . El conductor 1 transporta una corriente de , y el conductor 2 transporta una corriente de en el mismo sentido. Calcula la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor e indica si la fuerza es atractiva o repulsiva.

Solución

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos viene dada por:

Sustituyendo los valores dados por el enunciado:

Dado que las corrientes fluyen en el mismo sentido, la fuerza entre los conductores es atractiva. Entonces, cada conductor experimenta una fuerza hacia el otro.

Por lo tanto, sufren una fuerza atractiva de

3. Un conductor en forma de U está sumergido en un campo magnético uniforme dirigido hacia arriba. Los lados verticales del conductor tienen una longitud de , y el tramo horizontal inferior tiene una longitud de . Una corriente de circula en sentido horario por el conductor. Calcula la fuerza magnética total que actúa sobre el conductor.

Solución

Analizaremos cada segmento del conductor por separado y luego sumaremos las fuerzas vectorialmente.

Segmento horizontal inferior:

La corriente en el segmento horizontal es perpendicular al campo magnético, por lo que la fuerza apunta hacia dentro de la página:

Segmentos verticales:

Los dos segmentos verticales tienen corrientes en direcciones opuestas:

Lado izquierdo: corriente hacia arriba.

Lado derecho: corriente hacia abajo.

El campo magnético es vertical (hacia arriba), por lo que es paralelo o antiparalelo a . Para ambos:

Por lo tanto, la fuerza magnética en ambos segmentos verticales es cero.

Solo el segmento horizontal inferior contribuye a la fuerza total:

y es perpendicular al plano del conductor y apunta hacia atrás (alejándose del observador si el conductor está en el plano de la página).