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Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica y Fuerza entre dos conductores rectilíneos.

Ángel Álvarez
Físico
18 de diciembre 2024

Una corriente eléctrica consiste en un flujo de cargas eléctricas en movimiento a lo largo de un conductor. Cuando este flujo de cargas se encuentra en presencia de un campo magnético, experimenta una fuerza magnética.

 

Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica

Consideremos un conductor rectilíneo de sección transversal 𝐴 por el que circula una corriente eléctrica 𝐼. Cuando este conductor se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético, cada carga en movimiento dentro del conductor experimenta una fuerza magnética individual. La fuerza total que actúa sobre el conductor es la suma de las fuerzas individuales sobre todas las cargas en movimiento.

 

Supongamos que:

  • Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es la densidad de cargas (número de cargas por unidad de volumen).

  • 𝑞 es la carga de cada portador de carga.

  • Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es la velocidad de desplazamiento de las cargas.

  • 𝑙 es la longitud del conductor dentro del campo magnético.

 

El número de cargas en un elemento de volumen de longitud 𝑙 es:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Cada carga 𝑞 experimenta una fuerza magnética dada por la ley de Lorentz:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

La fuerza total Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético sobre el conductor es entonces:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Dado que la corriente eléctrica 𝐼 está relacionada con la densidad de cargas y su velocidad mediante la expresión:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

podemos sustituir Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético por Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético en la expresión de la fuerza total:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

donde Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es el vector unitario en la dirección del conductor.

Si definimos el vector Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético como un vector de módulo igual a la longitud del conductor 𝑙, con dirección y sentido que indica la dirección de la corriente, entonces la expresión de la fuerza puede escribirse de manera más compacta como:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

De las propiedades del producto vectorial se deduce que si el campo magnético  Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es paralelo al conductor, es decir, si el ángulo entre Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético y Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es cero, entonces la fuerza magnética Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es nula.

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

Si el conductor no es rectilíneo, pero mantiene una sección transversal constante y se encuentra en un campo magnético Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético que puede no ser uniforme, la fuerza magnética total sobre el conductor se calcula mediante una integral a lo largo de la trayectoria del conductor. Consideramos un elemento diferencial de longitud Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético por el que circula una corriente 𝐼. La fuerza diferencial sobre este elemento es:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Para obtener la fuerza total Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético, integramos a lo largo de todo el conductor:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Si el campo magnético Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es uniforme a lo largo de todo el conductor, la integral se simplifica ya que Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético puede sacarse de la integral:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

donde Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético es el vector que une los puntos inicial () y final () del conductor, independientemente de la forma real del mismo. Esto implica que, en un campo magnético uniforme, la fuerza total ejercida sobre un conductor de forma arbitraria es la misma que si el conductor fuera rectilíneo y conectado entre los puntos y . Por lo tanto,

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

Fuerza entre dos conductores rectilíneos

Cuando dos conductores rectilíneos paralelos transportan corrientes eléctricas, interactúan entre sí a través de sus campos magnéticos. Esta interacción da lugar a fuerzas que pueden ser atractivas o repulsivas, dependiendo de la dirección de las corrientes en cada conductor.

Consideremos dos conductores rectilíneos y paralelos, separados por una distancia 𝑎. Supongamos que:

 

  • Conductor 1: Transporta una corriente eléctrica .

  • Conductor 2: Transporta una corriente eléctrica .

 

Cada conductor genera un campo magnético a su alrededor debido al movimiento de las cargas eléctricas. El campo magnético Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético generado por el conductor 1 en la posición del conductor 2 puede calcularse utilizando la ley de Biot-Savart para un conductor rectilíneo:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

donde:

  • es la permeabilidad del vacío:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético
  • es el vector unitario en la dirección tangencial al círculo imaginario alrededor del conductor.

     

De manera similar, el conductor 2 genera un campo magnético en la posición del conductor 1:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

La fuerza magnética que actúa sobre el conductor 2 debido al campo magnético generado por el Conductor 1 se determina mediante la ley de Lorentz para una corriente en un campo magnético (véase la sección anterior):

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

donde es el vector que representa la longitud del conductor en la dirección de la corriente. Para simplificar, consideramos una longitud 𝑙 suficientemente pequeña para que el campo magnético sea aproximadamente uniforme sobre dicha longitud. Sustituyendo :

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

donde es el vector unitario perpendicular tanto a como a , determinando la dirección según la regla de la mano derecha.

De manera análoga, la fuerza que actúa sobre el conductor 1 debido al campo magnético es:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

donde tiene sentido opuesto a , cumpliendo así la tercera ley de Newton (acción y reacción).

Para generalizar y facilitar el cálculo, es común expresar la fuerza por unidad de longitud. Dividiendo las ecuaciones anteriores por , obtenemos:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Esta expresión muestra que la fuerza entre dos conductores rectilíneos paralelos es directamente proporcional al producto de las corrientes que transportan y inversamente proporcional a la distancia que los separa.

 

La dirección de la fuerza depende de la dirección relativa de las corrientes en los conductores:

  • Corrientes en el Mismo Sentido: Si e fluyen en la misma dirección, las fuerzas y son atractivas los conductores tenderán a acercarse.

  • Corrientes en Sentido Contrario: Si e fluyen en direcciones opuestas, las fuerzas son repulsivas los conductores tenderán a alejarse.

 

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

La ley de la fuerza entre dos conductores paralelos también se utiliza para definir la unidad de corriente eléctrica, el Ampere (). Según esta definición:

 

“Un Ampere es la corriente que, circulando por dos conductores paralelos infinitamente largos y separados por 1 metro, produce una fuerza de entre ellos.”

 

Ejercicios resueltos

1. Un conductor rectilíneo de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético de longitud está situado en un campo magnético uniforme de magnitud Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético. El conductor transporta una corriente de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético y está orientado de manera que forma un ángulo de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético con la dirección del campo magnético. Calcula la magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa sobre el conductor.

Solución

La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo en un campo magnético se calcula mediante la expresión:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

Sustituyendo los valores dados por el enunciado:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Además, por la regla de la mano derecha sabemos que esta fuerza forma Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético con el campo magnético.

Por lo tanto, la fuerza es Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético y es perpendicular al campo magnético.

2. Dos conductores rectilíneos y paralelos de longitud infinita están separados por una distancia de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético. El conductor 1 transporta una corriente de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético, y el conductor 2 transporta una corriente de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético en el mismo sentido. Calcula la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor e indica si la fuerza es atractiva o repulsiva.

Solución

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos viene dada por:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Sustituyendo los valores dados por el enunciado:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Dado que las corrientes fluyen en el mismo sentido, la fuerza entre los conductores es atractiva. Entonces, cada conductor experimenta una fuerza hacia el otro.

Por lo tanto, sufren una fuerza atractiva de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

3. Un conductor en forma de U está sumergido en un campo magnético uniforme Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético dirigido hacia arriba. Los lados verticales del conductor tienen una longitud de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético, y el tramo horizontal inferior tiene una longitud de . Una corriente de Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético circula en sentido horario por el conductor. Calcula la fuerza magnética total que actúa sobre el conductor.

Solución

Analizaremos cada segmento del conductor por separado y luego sumaremos las fuerzas vectorialmente.

 

Segmento horizontal inferior:

La corriente en el segmento horizontal es perpendicular al campo magnético, por lo que la fuerza apunta hacia dentro de la página:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

 

Segmentos verticales:

Los dos segmentos verticales tienen corrientes en direcciones opuestas:

Lado izquierdo: corriente hacia arriba.

Lado derecho: corriente hacia abajo.

El campo magnético es vertical (hacia arriba), por lo que es paralelo o antiparalelo a . Para ambos:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

Por lo tanto, la fuerza magnética en ambos segmentos verticales es cero.

Solo el segmento horizontal inferior contribuye a la fuerza total:

Fuerza magnética, fuerza de Lorentz, Campo magnético y Líneas de campo magnético

y es perpendicular al plano del conductor y apunta hacia atrás (alejándose del observador si el conductor está en el plano de la página).

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