Flujo eléctrico y Teorema de Gauss

El flujo eléctrico cuantifica la cantidad de campo eléctrico que atraviesa una superficie dada. El Teorema de Gauss establece que este flujo es proporcional a la carga total encerrada, facilitando el cálculo de campos eléctricos en sistemas con simetría.

Flujo eléctrico

El flujo eléctrico es una medida que describe la cantidad de campo eléctrico que atraviesa una superficie determinada. Este concepto está estrechamente relacionado con las líneas de campo eléctrico: cuando estas líneas penetran una superficie, ya sea entrando o saliendo de ella, se genera un flujo eléctrico a través de dicha superficie.

“La intensidad del campo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo que atraviesan la unidad de superficie colocada perpendicularmente a ellas.”

Para analizar el flujo eléctrico en una superficie, el campo eléctrico () puede descomponerse en dos componentes: una paralela a la superficie y otra perpendicular a ella, como se ilustra en la siguiente figura:

Sin embargo, al definir el flujo eléctrico, solo se considera la componente del campo que es perpendicular a la superficie. Esto se debe a que solo esta componente contribuye al paso neto del campo a través de la superficie.

Matemáticamente, el flujo eléctrico () a través de una superficie arbitraria se define mediante la integral de superficie del producto punto entre el campo eléctrico y un elemento de área ():

donde representa un vector área cuyo sentido es perpendicular a la superficie en cada punto, generalmente orientado hacia afuera si la superficie es cerrada. Esta orientación garantiza que en el producto solo se tenga en cuenta la componente del campo eléctrico que es perpendicular a la superficie.

En el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), la unidad del flujo eléctrico es el newton por metro cuadrado por coulomb ().

En situaciones donde el campo eléctrico es uniforme, el flujo eléctrico puede simplificarse a:

donde es el área total de la superficie, es la magnitud del campo eléctrico constante y es el ángulo entre ellos. Observamos que:

• Flujo máximo: , superficie perpendicular al campo.

• Flujo mínimo: , superficie paralela al campo.

El signo del flujo eléctrico depende de la dirección de las líneas de campo respecto a la orientación de la superficie:

• Flujo positivo: Ocurre cuando las líneas de campo eléctrico salen de la superficie.

• Flujo negativo: Se da cuando las líneas de campo eléctrico entran en la superficie.

Para superficies abiertas, el signo del flujo dependerá de la orientación elegida para el vector área. Es importante definir consistentemente esta orientación al realizar cálculos para evitar errores en la interpretación del flujo.

Teorema de Gauss

El Teorema de Gauss establece una relación fundamental entre el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica total encerrada dentro de ella. Esta superficie cerrada se denomina comúnmente superficie gaussiana.

Imaginemos una superficie esférica de radio 𝑟 que rodea una carga puntual 𝑞 situada en su centro. El campo eléctrico generado por esta carga es radial y tiene la misma magnitud en todos los puntos de la superficie esférica. El flujo eléctrico a través de esta superficie se calcula mediante:

Dado que el campo eléctrico a una distancia de una carga puntual es:

sustituyendo em la expresión del flujo obtenemos:

Esto demuestra que el flujo eléctrico total a través de la superficie es independiente del radio 𝑟 de la esfera y depende únicamente de la carga 𝑞 encerrada.

Si hay múltiples cargas dentro de la superficie gaussiana, la carga total  es la suma algebraica de todas las cargas presentes. El Teorema de Gauss sigue siendo válido y se expresa como:

Un aspecto crucial del teorema es que el resultado es independiente de la forma de la superficie cerrada. Ya sea esférica, cúbica o de cualquier otra geometría, siempre que encierre la misma carga neta, el flujo eléctrico será el mismo. Esto se debe a que el número de líneas de campo eléctrico que salen o entran en la superficie depende solo de la carga total encerrada, como se ilustra en la siguiente figura:

“El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dentro de esa superficie dividida por la permitividad del vacío .”

El Teorema de Gauss es una herramienta poderosa en electrostática, especialmente para calcular campos eléctricos generados por distribuciones de carga con alta simetría (esférica, cilíndrica o plana). Además, permite simplificar cálculos que serían complejos si se usara directamente la ley de Coulomb.

Como curiosidad, cabe mencionar que el Teorema de Gauss también es aplicable en campos gravitatorios, estableciendo una relación similar entre el flujo del campo gravitatorio y la masa encerrada.

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuál es el valor del flujo electrostático a través de una superficie esférica que encierra a dos cargas iguales y de signo contrario?

2. Una carga puntual se encuentra en el centro de una esfera de radio . Calcula el flujo eléctrico a través de la superficie esférica.

3. Una placa infinita cargada uniformemente con densidad superficial de carga está situada en el plano 𝑥𝑦. Utiliza el Teorema de Gauss para determinar el flujo eléctrico a través de un cilindro gaussiano de altura y radio , cuyo eje es perpendicular a la placa y está simétricamente colocado respecto a ella (es decir, la mitad del cilindro está por encima y la otra mitad por debajo de la placa).

4. Dentro de un cilindro largo y hueco de radio y longitud , se encuentra distribuida una carga lineal uniforme . Utiliza el Teorema de Gauss para calcular el flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica concéntrica con el cilindro cargado, de radio y la misma longitud 𝐿.