Campo y potencial eléctrico en el vértice de un cuadrado

Enunciado

Tres cargas están situadas en los vértices , y de un cuadrado de de lado. Sabiendo que: , , y teniendo en cuenta que es el cuarto vértice del cuadrado y el punto medio del mismo, calcula:

1. La intensidad de campo eléctrico en el punto.

2. El potencial en los puntos y .

3. El trabajo necesario para trasladar una carga de desde el punto al .

Solución

Consideremos el cuadrado ubicado en el plano cartesiano para facilitar los cálculos. Las coordenadas de los vértices se asignan de la siguiente manera: 

• Vértice : carga .

• Vértice : carga .

• Vértice : carga .

• Vértice .

• Vértice

Recordemos también que la constante de Coulomb es Vamos a resolver cada apartado por separado:

a. La intensidad de campo eléctrico en el punto .

Representamos en primer lugar la situación descrita por el enunciado:

Sabemos que la expresión del campo eléctrico (en módulo) es:

donde es la carga de la partícula que genera dicho campo, es la constante de Coulomb y es la distancia desde la masa hasta el punto. Comencemos con el punto :

Para la carga , vemos que:

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

De manera similar, para la carga se tiene que:

Debemos descomponer en su componente vertical y horizontal. Para ello, obtenemos primero el ángulo del vértice B:

Por ende,

Finalmente, para la carga se tiene que:

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

Entonces, aplicando el principio de superposición:

Hallamos el módulo:

Por lo tanto, el módulo del campo eléctrico en el punto es

b. El potencial en los puntos y .

El potencial eléctrico en un punto debido a varias cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales individuales de cada carga. El potencial debido a una carga puntual es:

El potencial en el punto es:

Operando:

De manera similar, para el punto se tiene que:

Observando la simetría de las posiciones de las cargas respecto de :

Entonces,

Calculando:

Por lo tanto, el potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado es , y el potencial en el punto es .

c. El trabajo necesario para trasladar una carga de desde el punto    al .

El trabajo 𝑊 realizado al mover una carga 𝑞 desde un punto con potencial hasta otro con potencial es:

Sustituyendo:

El trabajo negativo indica que se está aumentando la energía potencial eléctrica de la carga al moverla desde 𝑃 hasta 𝐷. Esto ocurre porque estás moviendo la carga contra el campo eléctrico (es decir, el campo eléctrico está resistiendo ese movimiento y no ayudándolo).

Por lo tanto, el trabajo que debe realizar una fuerza externa necesario para trasladar una carga de  desde el punto P al D es .