Hipérbolas

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya resta de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante e igual al eje “mayor” AB. Consta al igual que la elipse de dos ejes que se cortan perpendicularmente en su punto centro llamados eje real y eje imaginario. 

La circunferencia focal funciona idéntica a la elipse, tiene centro en un F y radio AB.

Los focos se obtienen con distancia AC concentrando en O. 

Las asíntotas son rectas que se acercan mucho a la hipérbola, pero que nunca se tocan, únicamente en el infinito. Para trazarlas debemos apoyarnos en el rectángulo generado por eje mayor y menor, las diagonales serán dichas asíntotas.

Para las rectas tangentes trabajaremos exactamente igual que con la elipse, obtenemos un F’’ en la circunferencia focal generado de la unión del punto con el otro foco F’. Trazando mediatriz entre F’’ y F obtenemos la recta tangente.

Construir la hipérbola

Al igual que para la parábola empleamos el método del jardinero (tomar puntos intermedios y trazarlos con el compás).

Concentro en F con radio A1 y concentro en F’ con radio B1, donde se corte obtenemos un punto de la hipérbola. 

Trazando los simétricos y uniéndolos con buena mano alzada obtenemos la curva buscada.

Ejercicios resueltos

1. Trazar rectas tangentes a una hipérbola desde un punto exterior a ella.

Solución

Como hacíamos con la elipse, nos basamos en que el punto P exterior pertenece a las rectas tangentes, y por tanto pertenece a la mediatriz entre un F’’ y uno de los focos, por tanto, será equidistante a los F’’ y al foco no centro de la circunferencia focal.

Sacamos la circunferencia focal con F’. Concentro en P y con radio FP obtenemos F’’1 y F’’2 sobre la circunferencia focal. Las rectas tangentes serán resultantes de mediatrices entre esos F’’ y el otro foco.

Trazamos mediatrices entre F’’ y el foco no centro de la circunferencia focal y obtenemos las rectas tangentes. Para obtener los puntos de tangencia basta con unir el foco centro de la circunferencia focal, en nuestro caso F’ con los F’’ y donde corte a la recta tangente obtendremos los puntos de tangencia.

 

2. Trazar rectas tangentes paralelas a una dirección dada.

Solución

De nuevo nos basamos en que las rectas tangentes serán mediatrices entre un F’’ y un foco, por tanto, perpendiculares a la unión de estos puntos. 

Trazamos circunferencia focal desde un foco, desde el otro perpendicular a la dirección dada y donde corte a la circunferencia focal obtenemos dos F’’.

Trazando mediatriz entre F-F’’1 y F-F’’2 obtendremos las rectas tangentes.

Para obtener los puntos de tangencia unimos los F’’ con el otro foco y prolongamos hasta que corte a la recta tangente, ahí obtendremos T1 y T2 puntos de tangencia.