Elipses

La elipse es la curva cónica lugar geométrido de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos (focos) es constante e igual al eje mayor de esta. Consta de dos ejes que se cortan perpendicularmente en su punto medio.

Para generar el esquema general (todos los elementos) el foco se determina con la distancia que hay entre A y O, y concentrando en C obtenemos F1 y F2.

Desde cualquier punto de la elipse, si tomamos la medida a los focos y los sumamos, siempre obtendremos la distancia AB.

La circunferencia focal es el lugar geométrico donde encontraremos todos los F’’, puntos necesarios para trazar rectas tangentes. Para obtener dicha circunferencia concentrando en uno de los focos y con radio AB la podemos trazar. Los F’’ los obtendremos uniendo cualquier punto con el foco y prolongando hasta dicha circunferencia. Trazando mediatriz entre el F’’ y el otro foco obtenemos la recta tangente.

La recta normal será la perpendicular a la tangente desde cualquier punto. 

Construir la elipse

Hay diferentes métodos para construir la elipse, pero el método más común es el método del jardinero (con el compás tomando puntos intermedios). 

Sacamos los focos con radio AO concentrando en C

Tomamos puntos intermedios entre F1 y O. Concentro en F1 y F2 y con radio respectivamente A1 y B1, donde corten los dos arcos de circunferencia obtenemos un punto de la elipse.

Hacemos lo mismo con 2 y 3.

Obtenemos los puntos simétricos al otro lado de los ejes y uniendo los puntos con buena mano alzada trazamos la elipse. 

Ejercicios resueltos

1. Trazar rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior

Solución

Para resolver este problema debemos ser conscientes de que el punto P es un punto perteneciente a una recta tangente. Esta recta tangente debemos obtenerla mediante la mediatriz de un F’’ y un F cualquiera, por tanto, P será equidistante a F’ y a los F’’ correspondientes.

Primero obtenemos la circunferencia focal, lugar geométrico donde tendremos todos los F’’ posibles. Concentrando en P y radio hasta el otro foco, obtenemos los F’’ para sus rectas tangentes. Trazando mediatriz entre un F’’ y F’ obtenemos las rectas tangentes.

Hacemos lo mismo con el otro F’’. Para obtener los puntos de tangencia, simplemente unimos los F’’ con el F (centro de la circunferencia focal) donde corte a la recta tangente estarán los puntos de tangencia.

 

2. Trazar rectas tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada

Solución

Este ejercicio se resuelve teniendo en cuenta que las rectas tangentes paralelas resultantes, serán mediatrices entre un foco y su F’’, y por tanto la unión de estos dos puntos generará una perpendicular a la dirección dada.

Desde un Foco trazamos circunferencia focal, desde el otro perpendicular a la dirección dada. Donde corte a la circunferencia focal obtenemos los F’’ que buscamos.

Realizando mediatriz entre F’’ y F’ obtenemos las rectas tangentes paralelas a la dirección dada. Uniendo los F’’ con el foco centro de la circunferencia focal, donde corte a la recta tangente obtenemos el punto de tangencia.