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El Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes son dos de los recursos más utilizados en probabilidad.
El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, que puede darse en distintas condiciones.
Por otra parte, el teorema de Bayes se basa en el teorema de la probabilidad total, pero de manera inversa. En este caso, hacemos uso de la probabilidad de algo que ya sabemos para calcular la probabilidad del suceso del que viene.
El teorema de la probabilidad total es útil para determinar la probabilidad de que ocurra un suceso que puede darse en función de varias posibilidades.
Tiramos una moneda dos veces. Calcular la probabilidad de que salga cara la segunda vez:
La probabilidad de que salga cara la segunda vez es igual a:
Si desarrollamos la intersección siguiendo las ramas del diagrama tenemos que:
Obtenemos la expresión del Teorema de la probabilidad Total.
Ejemplo resuelto: Teorema Probabilidad Total
Tenemos tres fábricas que construyen coches, cada una de las cuales puede hacer un coche defectuoso o no defectuoso.
Cuando tienes un suceso (que un coche tenga un fallo) que puede producirse en distintas particiones (cada una de las 3 fábricas), hay que tener en cuenta la probabilidad de que el coche sea de una fábrica en concreto y la probabilidad de obtener un coche con fallo.
Para calcular la probabilidad de que un coche sea defectuoso, debemos tener en cuenta las tres ramas, es decir, el hecho de que un cada fábrica puede crear un coche defectuoso:
El teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades dependientes, es decir, calcular la probabilidad de un suceso sabiendo que ha sucedido otro previamente.
Para entender el teorema de Bayes, es importante recordar algunos conceptos básicos.
La intersección de sucesos se desarrolla así:
El teorema de Bayes dice que:
Viene a ser lo mismo que despejar la probabilidad condicionada de la ecuación de la intersección de sucesos.
Necesitamos calcular la probabilidad compuesta cuando un experimento simple se repite varias veces o se relaciona un experimento con otro.
La regla del producto nos indica que la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se obtiene multiplicando las probabilidades de cada uno de los sucesos elementales.
Realmente, esto no es más que aplicar las fórmulas de la intersección de dos sucesos, dependientes o independientes, según corresponda:
1. La probabilidad de que un ciclista gane una carrera en un día lluvioso es 0,08 y la de que gane en un día seco es 0,3. Si la probabilidad de que el día de la carrera sea lluvioso es 0,25, ¿cuál será la probabilidad de que el ciclista gane?
Solución
Que llueva o que esté seco son sucesos opuestos, por lo que su unión coincide con la totalidad del espacio muestral y son incompatibles:
Con esto hemos demostrado que se cumplen todas las condiciones del Teorema de Probabilidad Total, por lo que podemos utilizar las probabilidades condicionadas del enunciado para obtener la probabilidad total de ganar, que será la suma de la probabilidad de los sucesos “que el día sea lluvioso y gane” y “que el día sea seco y gane”:
2. Una persona se somete a una prueba para detectar una enfermedad rara. Se sabe que la prueba tiene una tasa de falsos positivos del 5% y una tasa de falsos negativos del 2%. Además, se sabe que la enfermedad es muy rara y afecta sólo al 0.1% de la población. Si la persona obtiene un resultado positivo en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que tenga realmente la enfermedad?
Solución
Sean los sucesos A = “persona enferma” y B = “persona que da positivo en la prueba”
Conocemos las siguientes probabilidades:
Haremos uso del teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que una persona que haya dado positivo en la prueba tenga la enfermedad:
3. Se tiene una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Se saca una bola al azar que se introduce en otra urna que contiene 3 bolas blancas y 5 negras. De esta urna se extrae una segunda bola. Calcula:
a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.
b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.
e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.
Solución
Construiremos un diagrama de árbol para contestar a las preguntas:
Si la primera bola extraída es blanca, se forma una urna U2 con 4 bolas blancas y 5 negras.
Si la primera bola extraída es negra, se forma una urna U3 con 3 bolas blancas y 6 negras.
Calculamos las probabilidades de que salga cada bola haciendo uso de la Ley de Laplace.
a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.
b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.
e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.
4. Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la probabilidad de que:
a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.
b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.
c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.
d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?
Solución
Sean los sucesos M = “aprobar matemáticas” y E = “aprobar economía”, conocemos las siguientes probabilidades:
a) Aprobar una asignatura o la otra:
b) Solo aprobar matemáticas o solo aprobar economía:
c) No aprobar ninguna será el suceso contrario de aprobar alguna:
d) Serán independientes si se cumple:
Los valores no coinciden por lo que no son sucesos independientes.