Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
14 de febrero 2025

Introducción

El Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes son dos de los recursos más utilizados en probabilidad.

El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, que puede darse en distintas condiciones.

Por otra parte, el teorema de Bayes se basa en el teorema de la probabilidad total, pero de manera inversa. En este caso, hacemos uso de la probabilidad de algo que ya sabemos para calcular la probabilidad del suceso del que viene. 

 

Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total es útil para determinar la probabilidad de que ocurra un suceso que puede darse en función de varias posibilidades.

Tiramos una moneda dos veces. Calcular la probabilidad de que salga cara la segunda vez:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

La probabilidad de que salga cara la segunda vez es igual a:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Si desarrollamos la intersección siguiendo las ramas del diagrama tenemos que:
 

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Obtenemos la expresión del Teorema de la probabilidad Total.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

 

Ejemplo resuelto: Teorema Probabilidad Total

Tenemos tres fábricas que construyen coches, cada una de las cuales puede hacer un coche defectuoso o no defectuoso.

Cuando tienes un suceso (que un coche tenga un fallo) que puede producirse en distintas particiones (cada una de las 3 fábricas), hay que tener en cuenta la probabilidad de que el coche sea de una fábrica en concreto y la probabilidad de obtener un coche con fallo.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Para calcular la probabilidad de que un coche sea defectuoso, debemos tener en cuenta las tres ramas, es decir, el hecho de que un cada fábrica puede crear un coche defectuoso:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

 

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades dependientes, es decir, calcular la probabilidad de un suceso sabiendo que ha sucedido otro previamente.

Para entender el teorema de Bayes, es importante recordar algunos conceptos básicos.

  • La probabilidad condicionada se refiere a la probabilidad de que ocurra un suceso dado que otro ya ha ocurrido. Por ejemplo, la probabilidad de que llueva dado que hay nubes en el cielo.
  • La intersección de sucesos se desarrolla así:

El teorema de Bayes dice que:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Viene a ser lo mismo que despejar la probabilidad condicionada de la ecuación de la intersección de sucesos.

 

Probabilidad compuesta. Regla del producto.

Necesitamos calcular la probabilidad compuesta cuando un experimento simple se repite varias veces o se relaciona un experimento con otro.

La regla del producto nos indica que la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se obtiene multiplicando las probabilidades de cada uno de los sucesos elementales. 

Realmente, esto no es más que aplicar las fórmulas de la intersección de dos sucesos, dependientes o independientes, según corresponda:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

 

Ejercicios resueltos

1. La probabilidad de que un ciclista gane una carrera en un día lluvioso es 0,08 y la de que gane en un día seco es 0,3. Si la probabilidad de que el día de la carrera sea lluvioso es 0,25, ¿cuál será la probabilidad de que el ciclista gane?

Solución

Que llueva o que esté seco son sucesos opuestos, por lo que su unión coincide con la totalidad del espacio muestral y son incompatibles:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Con esto hemos demostrado que se cumplen todas las condiciones del Teorema de Probabilidad Total, por lo que podemos utilizar las probabilidades condicionadas del enunciado para obtener la probabilidad total de ganar, que será la suma de la probabilidad de los sucesos “que el día sea lluvioso y gane” y “que el día sea seco y gane”:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

 

2. Una persona se somete a una prueba para detectar una enfermedad rara. Se sabe que la prueba tiene una tasa de falsos positivos del 5% y una tasa de falsos negativos del 2%. Además, se sabe que la enfermedad es muy rara y afecta sólo al 0.1% de la población. Si la persona obtiene un resultado positivo en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que tenga realmente la enfermedad?

Solución

Sean los sucesos A = “persona enferma” y B = “persona que da positivo en la prueba”

Conocemos las siguientes probabilidades:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Haremos uso del teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que una persona que haya dado positivo en la prueba tenga la enfermedad:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

 

3. Se tiene una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Se saca una bola al azar que se introduce en otra urna que contiene 3 bolas blancas y 5 negras. De esta urna se extrae una segunda bola. Calcula:

a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.

b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.

c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.

d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.

e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.

f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.

Solución

Construiremos un diagrama de árbol para contestar a las preguntas:

Si la primera bola extraída es blanca, se forma una urna U2 con 4 bolas blancas y 5 negras. 

Si la primera bola extraída es negra, se forma una urna U3 con 3 bolas blancas y 6 negras.

Calculamos las probabilidades de que salga cada bola haciendo uso de la Ley de Laplace.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

 

4. Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la probabilidad de que: 

a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.

b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.

c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.

d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?

Solución

Sean los sucesos M = “aprobar matemáticas” y E = “aprobar economía”, conocemos las siguientes probabilidades:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

a) Aprobar una asignatura o la otra:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

b) Solo aprobar matemáticas o solo aprobar economía:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

c) No aprobar ninguna será el suceso contrario de aprobar alguna:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

d) Serán independientes si se cumple:

Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes

Los valores no coinciden por lo que no son sucesos independientes.

Vídeo complementario

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