Contenidos:
¿Necesitas clases particulares?
Conecta con un profesor particular personalizado para ti.
Contacta con nosotros
Teléfono
+34 648462395
Correo electrónico
Conecta con un profesor particular personalizado para ti.
1. Aplica la Ley de Laplace y calcula las siguientes probabilidades:
a) En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son amarillas y 5 son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola?
b) En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50 italianos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión no sea español?
Solución
a) En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son amarillas y 5 son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola?
b) En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50 italianos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión no sea español?
2. Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar:
a) Sea de color amarillo.
b) No sea de color verde.
Solución
a) Sea de color amarillo:
b) No sea verde:
1. De un grupo de 165 diplomáticos, 125 hablan inglés, 80 francés, 50 alemán, 60 hablan inglés y francés, 30 inglés y alemán, 10 francés y alemán y 5 los tres idiomas. Calcular la probabilidad de:
a) Al dirigirte a uno de ellos en francés o alemán te entiendan.
b) Que hable inglés y francés, pero no alemán.
c) Que no hable francés.
d) Que hable francés y no inglés.
Solución
Siendo F = “habla francés”; I = “habla inglés”; A = “habla alemán”
a) Al dirigirte a uno de ellos en francés o alemán te entiendan:
b) Que hable inglés y francés, pero no alemán:
c) Que no hable francés:
d) Que hable francés y no inglés:
1. En una clase de la Facultad de Económicas de 30 alumnos tenemos: 18 alumnos que han aprobado estadística, 16 que han aprobado contabilidad y 6 que no han aprobado ninguna de las dos asignaturas. Se elige al azar un alumno de la clase:
a) Probabilidad de que aprobara estadística y contabilidad.
b) Sabiendo que ha aprobado estadística, probabilidad de que haya aprobado contabilidad.
c) ¿Son independientes los sucesos aprobar estadística y aprobar contabilidad?
Solución
Sean los sucesos:
E = “aprobar estadística”
C = “aprobar contabilidad”
a) Probabilidad de que aprobara estadística y contabilidad.
b) Sabiendo que ha aprobado estadística, probabilidad de que haya aprobado contabilidad.
c) ¿Son independientes los sucesos aprobar estadística y aprobar contabilidad?
Son independientes si se cumple que:
Comprobamos que los valores no coinciden, por lo que no son independientes.
2. Un psicólogo de una compañía aérea, por experiencias anteriores, conoce que el 90% de los tripulantes de cabina (TCP) que inician un determinado tratamiento técnico terminan con éxito. La proporción de TCPs con entrenamiento y con experiencia previa es del 10% de entre los que completaron con éxito su entrenamiento y del 25% de entre aquellos que no terminaron con éxito su entrenamiento. Calcula la probabilidad de que un TCP:
a) Supere con éxito el entrenamiento si tiene experiencia previa.
b) Si influye la experiencia previa en el éxito en el entrenamiento.
Solución
Sean los sucesos:
S = “termina el entrenamiento con éxito”
E = “tiene experiencia previa”
a) Supere con éxito el entrenamiento si tiene experiencia previa.
b) Si influye la experiencia previa en el éxito en el entrenamiento.
La experiencia previa influye desfavorablemente en el éxito en el entrenamiento.
3. Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la probabilidad de que:
a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.
b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.
c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.
d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?
Solución
Sean los sucesos:
M = “aprobar matemáticas”
E = “aprobar economía”
Conocemos las siguientes probabilidades:
a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.
b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.
c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.
d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?
Serán independientes si se cumple:
Los valores no coinciden por lo que no son sucesos independientes.
1. Dos máquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:
a) Probabilidad de que sea defectuosa.
b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.
Solución
Sean los sucesos:
MA = “procede de la máquina A”
MB = “procede de la máquina B”
D = “pieza defectuosa”
a) Probabilidad de que sea defectuosa.
b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.
2. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades 
, 
. Calcula:
a) 
b) 
c) La probabilidad de que se cumpla solo uno de los dos sucesos.
Solución
a)
b)
c) La probabilidad de que se cumpla solo uno de los dos sucesos.
3. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que 
, 
, 
. Calcular:
a)
b) 
c) 
Solución
Se conocen las siguientes probabilidades:
a)
b)
c)
4. Se lanza un dado de seis caras. Considera los sucesos: A = "obtener un número mayor que 2"; B = "obtener un número par"; C = "obtener un número primo". Describe los sucesos elementales asociados a cada suceso y calcula los sucesos siguientes:
a) 
b) 
c) 
d) 
Solución
Definimos los sucesos A, B y C:
A ={3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6}
C ={1, 2, 3, 5}
a)
= {1, 2}
= {1, 3, 5}
= {4, 6}
b)
Mayor que 2 y par = 
= {6}
Mayor que 2 o par = 
= {2, 3, 5}
c)
Contrario de mayor que 2 y par = 
= {1, 2, 3, 4, 5}
Contrario de mayor que 2 o par 
= {1, 4, 6}
Primo y par = 
= {2}
d)
Mayor que dos e impar = 
= {3, 5}
Par y no primo = 
= {4, 6}
1. En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2100 personas vieron la película, 1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Eligiendo al azar a uno de los encuestados, se desea saber:
a) Probabilidad de que viera la película y el debate.
b) Probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate.
c) Habiendo visto la película, probabilidad de que viera el debate.
Solución
Sean los sucesos P = “ver la película” y D = “ver el debate”, organizamos los datos en una tabla de doble entrada:
a) Probabilidad de que viera la película y el debate:
b) Probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate:
c) Habiendo visto la película, probabilidad de que viera el debate:
2. Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75% son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la probabilidad de:
a) Un paciente no fumador sea hombre.
b) Un paciente sea hombre fumador.
c) Un paciente sea mujer
d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea fumador.
Solución
a) Un paciente no fumador sea hombre:
b) Un paciente sea hombre fumador:
c) Un paciente sea mujer:
d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea fumador.
3. Según la revista Allmovil, el 63% de los usuarios de móvil en España tiene un “Smartphone”. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de teléfono móvil solo el 8% lo emplea para la conexión habitual a internet. Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil.
Solución
Siendo los sucesos S = “tener smartphone”; O = “tener otro móvil”; I = “tener internet”, tenemos las siguientes probabilidades:
Vamos a construir un diagrama de árbol:
La probabilidad total de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil será:
4. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución
Sean los sucesos I = “habla inglés” y F = “habla francés”
Realizaremos una tabla de doble entrada para resolver este problema y posteriormente, calcularemos las probabilidades que se piden aplicando la Ley de Laplace.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
1. La probabilidad de que un ciclista gane una carrera en un día lluvioso es 0,08 y la de que gane en un día seco es 0,3. Si la probabilidad de que el día de la carrera sea lluvioso es 0,25, ¿cuál será la probabilidad de que el ciclista gane?
Solución
Que llueva o que esté seco son sucesos opuestos, por lo que su unión coincide con la totalidad del espacio muestral y son incompatibles:
Con esto hemos demostrado que se cumplen todas las condiciones del Teorema de Probabilidad Total, por lo que podemos utilizar las probabilidades condicionadas del enunciado para obtener la probabilidad total de ganar, que será la suma de la probabilidad de los sucesos “que el día sea lluvioso y gane” y “que el día sea seco y gane”:
2. Una persona se somete a una prueba para detectar una enfermedad rara. Se sabe que la prueba tiene una tasa de falsos positivos del 5% y una tasa de falsos negativos del 2%. Además, se sabe que la enfermedad es muy rara y afecta sólo al 0.1% de la población. Si la persona obtiene un resultado positivo en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que tenga realmente la enfermedad?
Solución
Sean los sucesos A = “persona enferma” y B = “persona que da positivo en la prueba”
Conocemos las siguientes probabilidades:
Haremos uso del teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que una persona que haya dado positivo en la prueba tenga la enfermedad:
3. Se tiene una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Se saca una bola al azar que se introduce en otra urna que contiene 3 bolas blancas y 5 negras. De esta urna se extrae una segunda bola. Calcula:
a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.
b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.
e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.
Solución
Construiremos un diagrama de árbol para contestar a las preguntas:
Si la primera bola extraída es blanca, se forma una urna U2 con 4 bolas blancas y 5 negras.
Si la primera bola extraída es negra, se forma una urna U3 con 3 bolas blancas y 6 negras.
Calculamos las probabilidades de que salga cada bola haciendo uso de la Ley de Laplace.
a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.
b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.
e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.
