Fórmulas y propiedades

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
14 de febrero 2025

Axiomas de la probabilidad

Los axiomas de la probabilidad no son más que los principios básicos que nunca debemos olvidar cuándo trabajamos con ella:
 

  • La probabilidad de cualquier suceso siempre estará comprendida entre 0 y 1:

Fórmulas y propiedades
  • La probabilidad de un suceso y su contrario deben sumar 1:

Fórmulas y propiedades
  • La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es nula:

Fórmulas y propiedades
  • La probabilidad del suceso “espacio muestral” es 1, es decir, total:

Fórmulas y propiedades

 

Probabilidad de sucesos incompatibles

Dos sucesos son incompatibles cuándo no comparten ningún resultado en común.

Fórmulas y propiedades

Si A y B son incompatibles, la probabilidad de su unión (que ocurra A o B) es la suma de sus probabilidades individuales:

Fórmulas y propiedades

 

Probabilidad de sucesos compatibles

Dos sucesos son compatibles cuándo tienen resultados en común.

Fórmulas y propiedades

Si A y B son compatibles, la probabilidad de su unión (que ocurra A o B) es la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de su intersección (que ocurran A y B simultáneamente):

Fórmulas y propiedades

 

Probabilidad condicionada

Decimos que dos sucesos son dependientes cuándo, la probabilidad de que ocurra uno de ellos, se ve afectada si ocurre o no el otro. En estos casos, hacemos uso de la probabilidad condicionada.

La probabilidad de que ocurra B cuándo ya sé que ha ocurrido A:

Fórmulas y propiedades

 

Leyes de Morgan

Las leyes de Morgan relacionan la unión e intersección de sucesos con sus complementarios.

Primera ley de Morgan: “El contrario de la intersección es la unión de los contrarios”

Fórmulas y propiedades

 

Segunda ley de Morgan: ““El contrario de la unión es la intersección de los contrarios”

Fórmulas y propiedades

 

Resumen fórmulas de la probabilidad

FÓRMULAS PROBABILIDAD

Suceso contrario

Fórmulas y propiedades

Unión

A y B compatibles

Fórmulas y propiedades

A y B incompatibles

Fórmulas y propiedades

Intersección

A y B independientes

Fórmulas y propiedades

A y B dependientes

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

Condición

A y B independientes

Fórmulas y propiedade

A y B dependientes

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

 

Ejercicios resueltos

1. Dos máquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide: 

a) Probabilidad de que sea defectuosa. 

b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

Solución

Sean los sucesos: 

MA = “procede de la máquina A” 

MB = “procede de la máquina B” 

D = “pieza defectuosa”

Fórmulas y propiedades

a) Probabilidad de que sea defectuosa. 

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

 

2. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades Fórmulas y propiedades, Fórmulas y propiedades. Calcula: 

a) Fórmulas y propiedades

b) Fórmulas y propiedades

c) La probabilidad de que se cumpla solo uno de los dos sucesos.

Solución

a) Fórmulas y propiedades

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

b) Fórmulas y propiedades

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

c) La probabilidad de que se cumpla solo uno de los dos sucesos.

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

 

3. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que Fórmulas y propiedades, Fórmulas y propiedades, Fórmulas y propiedades. Calcular:

a) Fórmulas y propiedades 

b) Fórmulas y propiedades 

c) Fórmulas y propiedades

Solución

Se conocen las siguientes probabilidades:

Fórmulas y propiedades

a) Fórmulas y propiedades 

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

b) Fórmulas y propiedades 

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

c) Fórmulas y propiedades

Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades
Fórmulas y propiedades

 

4. Se lanza un dado de seis caras. Considera los sucesos: A = "obtener un número mayor que 2"; B = "obtener un número par"; C = "obtener un número primo". Describe los sucesos elementales asociados a cada suceso y calcula los sucesos siguientes: 

a)

b)

c)

d)

Solución

Definimos los sucesos A, B y C:

A ={3, 4, 5, 6}

B = {2, 4, 6}

C ={1, 2, 3, 5}

a)

Fórmulas y propiedades{1, 2}

Fórmulas y propiedades{1, 3, 5}

Fórmulas y propiedades{4, 6}

b)

Mayor que 2 y par = Fórmulas y propiedades{6}

Mayor que 2 o par = Fórmulas y propiedades{2, 3, 5}

c)

Contrario de mayor que 2 y par = Fórmulas y propiedades{1, 2, 3, 4, 5}

Contrario de mayor que 2 o par Fórmulas y propiedades{1, 4, 6}
Primo y par = Fórmulas y propiedades{2}

d)

Mayor que dos e impar = Fórmulas y propiedades{3, 5}

Par y no primo = Fórmulas y propiedades{4, 6}

Vídeos complementarios

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