Diagramas de árbol y tablas de contingencia

Introducción

Cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol y las tablas de contingencia son dos herramientas que pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades de sucesos condicionados.

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de las posibles posibilidades de un experimento, que vienen representados por las ramas del diagrama.

Para dibujar un diagrama de árbol, podemos seguir los siguientes pasos:

1. Observar el primer suceso y ver cuántas posibilidades distintas podrían darse. A continuación, dibujaremos tantas ramas como posibles resultados tenga.

2. Etiquetamos cada rama con la probabilidad que le corresponde al suceso representado en esa rama.

3. Repetimos los pasos 1 y 2 para tantos eventos como haya.

Ejemplo resuelto: Diagrama de árbol

Vamos a realizar el diagrama de árbol del experimento formado por lanzar dos veces una moneda que tiene en sus caras un gato y un perro:

Lo primero que debemos hacer es definir el espacio muestral:

E = {gato, perro}

Como está formado por dos elementos (dos posibles sucesos), inicialmente tendremos dos ramas y, como se realizarán dos lanzamientos, de cada suceso, saldrán dos nuevas ramas, que serán los posibles resultados de la 2ª tirada.

Tabla de contingencia

Las tablas de contingencia establecen las distintas relaciones que existen entre dos variables.

Nos proporciona una forma de representar los datos o probabilidades que ayuda a determinar las probabilidades condicionadas con bastante facilidad y, normalmente, se utilizan para analizar la relación entre dos variables de naturaleza cualitativa.

Ejemplo resuelto: Tabla de contingencia

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

Se tienen dos variables, la primera el género (Hombres - Mujeres) y la segunda recoge el estado civil, en este caso, si el individuo es soltero o casado.

A partir de los datos proporcionados, calculamos y completamos la tabla:

Ejercicios resueltos

1. En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2100 personas vieron la película, 1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Eligiendo al azar a uno de los encuestados, se desea saber: 

a) Probabilidad de que viera la película y el debate. 

b) Probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate. 

c) Habiendo visto la película, probabilidad de que viera el debate.

Solución

Sean los sucesos P = “ver la película” y D = “ver el debate”, organizamos los datos en una tabla de doble entrada:

a) Probabilidad de que viera la película y el debate:

 

b) Probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate:

 

c) Habiendo visto la película, probabilidad de que viera el debate:

 

2. Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75% son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la probabilidad de:

a) Un paciente no fumador sea hombre.

b) Un paciente sea hombre fumador.

c) Un paciente sea mujer

d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea fumador.

Solución

 

a) Un paciente no fumador sea hombre:

 

b) Un paciente sea hombre fumador:

 

c) Un paciente sea mujer:

 

d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea fumador.

 

3. Según la revista Allmovil, el 63% de los usuarios de móvil en España tiene un “Smartphone”. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de teléfono móvil solo el 8% lo emplea para la conexión habitual a internet. Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil.

Solución

Siendo los sucesos S = “tener smartphone”; O = “tener otro móvil”; I = “tener internet”, tenemos las siguientes probabilidades:

Vamos a construir un diagrama de árbol:

La probabilidad total de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil será:

 

4. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución

Sean los sucesos I = “habla inglés” y F = “habla francés”

Realizaremos una tabla de doble entrada para resolver este problema y posteriormente, calcularemos las probabilidades que se piden aplicando la Ley de Laplace. 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

 

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

 

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

 

5. Sobre una mesa hay dos bolsas iguales opacas. Una de ellas contiene 2 bolas verdes y 3 rojas; la otra, 4 bolas verdes y 1 roja. 

a) Si se elige una bolsa al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja? 

b) Si se elige una bolsa al azar y se extraen dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las bolas sean de distinto color?

Solución

Llamaremos A a la bolsa que contiene 2 bolas verdes y 3 rojas y b a la bolsa que contiene 4 bolas verdes y 1 roja. La probabilidad de escoger una bolsa o la otra es la misma, es decir ½.

Sean los sucesos V = “sacar bola verde” y R = “sacar bola roja”, calcularemos sus probabilidades utilizando la ley de Laplace para la primera extracción y construiremos un diagrama de árbol:

1ª extracción:

Para la 2ª extracción, deberemos tener en cuenta, en cada caso, que la bola extraída previamente no se devuelve, por lo que el número de casos favorables y casos totales se verá modificado.

 

a) Si se elige una bolsa al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja? 

 

b) Si se elige una bolsa al azar y se extraen dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las bolas sean de distinto color?

 

Vídeo complementario