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Un fenómeno o experimento es aleatorio cuándo, aun manteniendo las mismas condiciones, no podemos predecir el resultado. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral (E). A cada elemento del espacio muestral, se le denomina suceso.
Podemos distinguir algunos tipos de sucesos:
Suceso elemental: es aquel que solo contempla un posible resultado.
Suceso seguro: un suceso que ocurre siempre. El suceso “espacio muestral” siempre ocurre.
Suceso imposible, Ø: un suceso que no ocurre nunca.
Suceso compuesto: es el formado por dos o más sucesos elementales.
Suceso contrario de A: el suceso que se verifica cuándo no ocurre A. Es decir, siempre ocurre uno u otro, pero nunca los dos simultáneamente.
Para el experimento aleatorio "lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos":
Espacio muestral: E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sucesos elementales: cada uno de los posibles resultados: {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}
Sucesos compuestos:
A = {Obtener múltiplo de 3} = {3, 6, 9, 12}
B = {Obtener número par} = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Suceso seguro:
E = {Obtener suma menor o igual a 12} = {Obtener suma entre 1 y 13}
Suceso imposible: {Obtener suma 0} = {Obtener suma mayor de 13}
Unión de sucesos:
Se verifica si se verifica A o B. Está formado por todos los elementos de A y todos los de B. Se lee como “que pase A o pase B”.
Intersección de sucesos:
Se verifica si se verifican A y B. Está formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Se lee como “que pase A y pase B”.
Diferencia de sucesos:
Se verifica si se verifica A y no se verifica B. Está formado por los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, la intersección del suceso A con el contrario del suceso B.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando su intersección es un suceso imposible.
1. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna.
Consideramos los siguientes sucesos:
A ="salir un número primo" y B ="salir un número cuadrado".
Responde a las cuestiones siguientes:
a) Calcula los sucesos y
.
b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?
c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
Solución
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales siguientes:
A = {2,3,5,7}
B = {1,4,9}
a) Calcula los sucesos y
.
La unión entre A y B, = {1,2,3,4,5,7,9}
La intersección entre A y B,
b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?
A y B no tienen ningún suceso en común, su intersección por lo que, son incompatibles.
c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
Suceso contrario de A = E – A = {1,4,6,8,9}
Suceso contrario de B = E- B = {2,3,5,6,7,8}
2. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe los sucesos: A = menor que 5; B = par.
c) Halla los sucesos ,
, Ac, Bc,
.
Solución
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
E ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
b) Escribe los sucesos: A = menor que 5; B = par.
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {0, 2, 4, 6, 8}
c) Halla los sucesos ,
, Ac, Bc,
.
= {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
={0, 2, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}
={5, 7, 9}
3. Se lanza un dado de seis caras. Considera los sucesos: A = "obtener un número mayor que 2"; B = "obtener un número par"; C = "obtener un número primo". Describe los sucesos elementales asociados a cada suceso y calcula los sucesos siguientes:
a)
b) ;
c) ;
;
d) ;
Solución
Definimos los sucesos A, B y C:
A ={3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6}
C ={1, 2, 3, 5}
a)
Contrario de = Ac = {1, 2}
Contrario de B = Bc = {1, 3, 5}
Contrario de C = Cc = {4, 6}
b) ;
Mayor que 2 y par = = {6}
Mayor que 2 o par = = {2, 3, 5}
c) ;
;
Contrario de mayor que 2 y par = {1, 2, 3, 4, 5}
Contrario de mayor que 2 o par = {1, 4, 6}
Primo y par = = {2}
d) ;
Mayor que dos e impar = = {3, 5}
Par y no primo = = {4, 6}