Espacio muestral y operaciones con sucesos

Introducción

Un fenómeno o experimento es aleatorio cuándo, aun manteniendo las mismas condiciones, no podemos predecir el resultado. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral (E). A cada elemento del espacio muestral, se le denomina suceso.

Podemos distinguir algunos tipos de sucesos:

• Suceso elemental: es aquel que solo contempla un posible resultado.

• Suceso seguro: un suceso que ocurre siempre. El suceso “espacio muestral” siempre ocurre.

• Suceso imposible, Ø: un suceso que no ocurre nunca.

• Suceso compuesto: es el formado por dos o más sucesos elementales.

• Suceso contrario de A: el suceso que se verifica cuándo no ocurre A. Es decir, siempre ocurre uno u otro, pero nunca los dos simultáneamente. 

Para el experimento aleatorio "lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos":

• Espacio muestral: E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

• Sucesos elementales: cada uno de los posibles resultados: {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}

• Sucesos compuestos: 

  • A = {Obtener múltiplo de 3} = {3, 6, 9, 12}

  • B = {Obtener número par} = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

• Suceso seguro: 

  • E = {Obtener suma menor o igual a 12} = {Obtener suma entre 1 y 13}

• Suceso imposible: {Obtener suma 0} = {Obtener suma mayor de 13}

Operaciones con sucesos

Unión de sucesos:

Se verifica si se verifica A o B. Está formado por todos los elementos de A y todos los de B. Se lee como “que pase A o pase B”.

Intersección de sucesos:

Se verifica si se verifican A y B. Está formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Se lee como “que pase A y pase B”.

Diferencia de sucesos:

Se verifica si se verifica A y no se verifica B. Está formado por los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, la intersección del suceso A con el contrario del suceso B.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos A y B son incompatibles cuando su intersección es un suceso imposible.

Ejercicios resueltos

1. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna.

Consideramos los siguientes sucesos:

A ="salir un número primo" y B ="salir un número cuadrado". 

Responde a las cuestiones siguientes:

a) Calcula los sucesos y .

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

2. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”. 

a) ¿Cuál es el espacio muestral?  

b) Escribe los sucesos: A = menor que 5; B = par. 

c) Halla los sucesos , , Ac, Bc, .

3. Se lanza un dado de seis caras. Considera los sucesos: A = "obtener un número mayor que 2"; B = "obtener un número par"; C = "obtener un número primo". Describe los sucesos elementales asociados a cada suceso y calcula los sucesos siguientes:

a)

b) ;  

c) ; ;  

d)  ;