Espacio muestral y operaciones con sucesos

Manuel Veloso
Ingeniero Aeroespacial
14 de febrero 2025

Introducción

Un fenómeno o experimento es aleatorio cuándo, aun manteniendo las mismas condiciones, no podemos predecir el resultado. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral (E). A cada elemento del espacio muestral, se le denomina suceso.

 

Podemos distinguir algunos tipos de sucesos:

  • Suceso elemental: es aquel que solo contempla un posible resultado.

  • Suceso seguro: un suceso que ocurre siempre. El suceso “espacio muestral” siempre ocurre.

  • Suceso imposible, Ø: un suceso que no ocurre nunca.

  • Suceso compuesto: es el formado por dos o más sucesos elementales.

  • Suceso contrario de A: el suceso que se verifica cuándo no ocurre A. Es decir, siempre ocurre uno u otro, pero nunca los dos simultáneamente. 

 

 

Para el experimento aleatorio "lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos":

  • Espacio muestral: E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

  • Sucesos elementales: cada uno de los posibles resultados: {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}

  • Sucesos compuestos: 

    • A = {Obtener múltiplo de 3} = {3, 6, 9, 12}

    • B = {Obtener número par} = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

  • Suceso seguro: 

    • E = {Obtener suma menor o igual a 12} = {Obtener suma entre 1 y 13}

  • Suceso imposible: {Obtener suma 0} = {Obtener suma mayor de 13}

 

Operaciones con sucesos

Unión de sucesos: Espacio muestral y operaciones con sucesos

Se verifica si se verifica A o B. Está formado por todos los elementos de A y todos los de B. Se lee como “que pase A o pase B”.

 

Intersección de sucesos: Espacio muestral y operaciones con sucesos

Se verifica si se verifican A y B. Está formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Se lee como “que pase A y pase B”.

 

Diferencia de sucesos: Espacio muestral y operaciones con sucesos

Se verifica si se verifica A y no se verifica B. Está formado por los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, la intersección del suceso A con el contrario del suceso B.

 

Sucesos incompatibles

Dos sucesos A y B son incompatibles cuando su intersección es un suceso imposible.

 

Ejercicios resueltos

1. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna.

Consideramos los siguientes sucesos:

A ="salir un número primo" y B ="salir un número cuadrado". 

Responde a las cuestiones siguientes:

a) Calcula los sucesos Espacio muestral y operaciones con sucesos y Espacio muestral y operaciones con sucesos.

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Solución

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales siguientes:

A = {2,3,5,7}

B = {1,4,9}

a) Calcula los sucesos Espacio muestral y operaciones con sucesos y Espacio muestral y operaciones con sucesos.

La unión entre A y B, = {1,2,3,4,5,7,9}

La intersección entre A y B,

 

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?

A y B no tienen ningún suceso en común, su intersección por lo que, son incompatibles.

 

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Suceso contrario de A = E – A = {1,4,6,8,9}

Suceso contrario de B = E- B = {2,3,5,6,7,8}

2. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”. 

a) ¿Cuál es el espacio muestral?  

b) Escribe los sucesos: A = menor que 5; B = par. 

c) Halla los sucesos , , Ac, Bc, .

Solución

a) ¿Cuál es el espacio muestral?  

E ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

 

b) Escribe los sucesos: A = menor que 5; B = par. 

A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {0, 2, 4, 6, 8}

 

c) Halla los sucesos , , Ac, Bc, .

Espacio muestral y operaciones con sucesos{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}

Espacio muestral y operaciones con sucesos ={0, 2, 4}

Espacio muestral y operaciones con sucesos{5, 6, 7, 8, 9}

Espacio muestral y operaciones con sucesos{1, 3, 5, 7, 9}

Espacio muestral y operaciones con sucesos ={5, 7, 9}

3. Se lanza un dado de seis caras. Considera los sucesos: A = "obtener un número mayor que 2"; B = "obtener un número par"; C = "obtener un número primo". Describe los sucesos elementales asociados a cada suceso y calcula los sucesos siguientes:

a)

b) ;  

c) ; ;  

d)  ;

Solución

Definimos los sucesos A, B y C:

A ={3, 4, 5, 6}

B = {2, 4, 6}

C ={1, 2, 3, 5}

 

a)

Contrario de = Ac = {1, 2}

Contrario de B = Bc = {1, 3, 5}

Contrario de C = Cc = {4, 6}

 

b) ;  

Mayor que 2 y par = {6}

Mayor que 2 o par = {2, 3, 5}

 

c) ; ;  

Contrario de mayor que 2 y par {1, 2, 3, 4, 5}

Contrario de mayor que 2 o par {1, 4, 6}
Primo y par = {2}

 

d)  ;

Mayor que dos e impar = {3, 5}

Par y no primo = {4, 6}

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