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Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Son muy útiles para visualizar gráficamente los distintos sucesos de un experimento y cómo se relacionan entre sí.
Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral junto con unos círculos en su interior que representan dos o más sucesos dentro de dicho espacio muestral.
Vamos a utilizar un ejemplo para comprobar cómo podemos visualizar, de forma sencilla, mediante un diagrama de Venn, las diversas relaciones que se pueden dar entre dos sucesos.
Ejemplo resuelto:
Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Consideramos el suceso A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el suceso B = {6, 7, 8, 9}.
El diagrama de Venn es el siguiente:
En él podemos ver los elementos que pertenecen a cada suceso, cuáles no pertenecen a ninguno, cuáles se comparten entre ambos y cuáles no.
Ahora vamos a representar cómo se vería en un diagrama de Venn la unión y la intersección de dos sucesos:
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Realizar un diagrama de Venn no es más que traducir la información del texto a la gráfica. Para realizar el diagrama debemos rellenarlo de dentro a fuera, es decir de la mayor intersección de sucesos hasta los datos que no pertenecen a ningún suceso.
Ejemplo resuelto: Paso a paso de un diagrama de Venn:
En un instituto de 500 personas, juegan al fútbol 300, al baloncesto 150, hacen ciclismo 120, juegan al fútbol y baloncesto 90, hacen fútbol y ciclismo 20, baloncesto y ciclismo 25, y 3 practican los tres deportes.
1. Hay 3 sucesos. Hay que hacer tres círculos que se corten entre sí, ya que son compatibles, es decir, comparten datos.
2. Utilizaremos la siguiente notación:
F = “alumnos que juegan Futbol”
B = “alumnos que juegan al baloncesto”
C = "Alumnos que hacen ciclismo"
3. Ponemos los 3 alumnos que hacen todos los deportes dónde se cortan los 3 círculos, este suceso es la intersección de los tres deportes:
4. Completamos las intersecciones:
C y B: 22 alumnos (25 que hacen los dos deportes menos los 3 que pusimos ya que hacen los tres deportes).
5. Completamos cada círculo con los alumnos que restan:
Solo C: 78 alumnos (120 en total menos los 17, 3 y 22 que hemos completado antes)
6. Ponemos en el rectángulo los que no hacen ningún deporte, es decir, que no pertenecen a ninguno de los 3 sucesos: 62 alumnos (500 alumnos en total menos todos los que hemos puesto en los pasos anteriores).
7. Resolución de problemas con diagramas de Venn
Los diagramas de Venn nos permiten calcular ejercicios de forma sencilla sin más que saber hacer el diagrama e interpretarlo. Vamos a utilizar el ejemplo anterior para calcular las siguientes probabilidades a partir del diagrama desarrollado.
Únicamente tenemos que aplicar la Ley de Laplace a los datos que hemos organizado en el diagrama de Venn para calcular las probabilidades de cada suceso:
a) La probabilidad de que elegido al azar un alumno no haga ningún deporte:
b) La probabilidad de que elegido al azar un alumno no juegue al baloncesto:
c) La probabilidad de que elegido al azar un alumno juegue al baloncesto o al fútbol:
d) La probabilidad de que elegido al azar un alumno practiquen algún deporte:
1. De un grupo de 165 diplomáticos, 125 hablan inglés, 80 francés, 50 alemán, 60 hablan inglés y francés, 30 inglés y alemán, 10 francés y alemán y 5 los tres idiomas. Calcular la probabilidad de:
a) Al dirigirte a uno de ellos en francés o alemán te entiendan.
b) Que hable inglés y francés, pero no alemán.
c) Que no hable francés.
d) Que hable francés y no inglés.
Solución
Siendo F = “habla francés”; I = “habla inglés”; A = “habla alemán”
a) Al dirigirte a uno de ellos en francés o alemán te entiendan:
b) Que hable inglés y francés, pero no alemán:
c) Que no hable francés:
d) Que hable francés y no inglés:
2. En un grupo de 60 personas, 24 leen la revista A; 22 la B; 20 la C; 6 leen la A y la B; 7 leen la A y la C; 8 leen la B y la C y finalmente 3 leen las tres publicaciones. Calcular la probabilidad de que elegida una persona al azar:
a) No lea ninguna publicación.
b) Lea solo la revista A.
c) Lea al menos una de las 3.
d) Lean la A o la B.
Solución
Sean los sucesos A = “lee la revista A”; B = “lee la revista B”; C = “lee la revista C”
a) No lea ninguna publicación:
b) Lea solo la revista A:
c) Lea al menos una de las 3:
d) Lean la A o la B.
