Parámetros estadísticos

Introducción

La estadística agrupa un conjunto de métodos que permiten extraer conclusiones generales de una población a partir de la observación de una muestra obtenida de ella. 

Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento (con resultado numérico) y de la probabilidad relacionada a cada uno. 

Cada experimento tiene asociada una variable aleatoria, que es la función que le asocia a cada suceso del espacio muestral su probabilidad.

Estudiaremos dos tipos de variables: 

• Variables discretas: aquellas que sólo puede tomar valores aislados (no de defectos, no de erratas en una página, no de hijos, etc.)

• Variables continuas: pueden tomar cualquier valor de un intervalo (longitud de una pieza, altura de un alumno, peso de un bebé, etc.)

   

Una variable aleatoria puede tomar diferentes valores dependiendo de los resultados del experimento aleatorio al que está asociado y su valor no se podrá predecir de manera exacta. Por lo que, para describir una variable aleatoria es necesario conocer su distribución de probabilidad, que consiste en asignar una probabilidad a cada uno de los resultados posibles de dicha variable.

Es decir, se trata de saber calcular o asignar la probabilidad , para todos los posibles valores  que puede tomar la variable aleatoria X.

Parámetros estadísticos

De cada una de las distribuciones de probabilidad estudiaremos su distribución, media o esperanza matemática y su dispersión. 

La media, μ, de una distribución es un valor central que indica la cantidad que correspondería a cada suceso en una repartición igualitaria. También se llama valor esperado o esperanza.

La varianza, , es una medida de la dispersión (de la desigualdad) de los valores de la variable aleatoria respecto al valor de la media. 

La desviación típica, , es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se utiliza con mayor frecuencia porque, al estar expresada en las mismas unidades que la variable X, permite establecer comparaciones más claramente. Nos permite ver cuánto se desvían los resultados del valor central (la media). A menor desviación típica, más precisos son los resultados, es decir, están más agrupados.

Ejercicios resueltos

1. Tenemos en una bolsa 10 olivas verdes y 4 negras. Saco 1 oliva y apunto su color y la devuelvo a la bolsa. Remuevo y repito el experimento una segunda vez. Y en las mismas condiciones lo repito una tercera vez. Al acabar miro cuantas olivas negras he sacado. Llamamos X a la variable aleatoria que indica el número de olivas negras que he obtenido. 

a) Indica los resultados posibles que puede obtener esta variable. 

b) ¿Es una variable discreta o continua? 

c) Halla la probabilidad de cada uno de estos posibles resultados. 

d) Determina la media de esta variable. 

e) ¿Averigua el valor de la variable que tiene la probabilidad más cercana posible a esta media? ¿Qué valor de X tiene una probabilidad más alejada? 

f) Determina la varianza y la desviación típica. 

g) ¿Qué sentido tiene el valor “media”? ¿Y la desviación típica? 

Solución

Llamamos X a la variable “número de olivas negras conseguidas en 3 extracciones sucesivas”

a) Los valores que puede tomar X son {0,1,2,3}.

b) Se trata de una variable discreta, pues toma valores aislados.

c) Teniendo en cuenta que la composición de la bolsa no cambia entre las extracciones, éstas son independientes entre sí, por lo que las probabilidades de extraer oliva verde o negra se van a mantener constantes en todas las extracciones. 

Las calculamos haciendo uso de la Ley de Laplace:

Calculamos ahora la probabilidad de obtener 0, 1, 2 o 3 olivas negras después de las 3 extracciones, haciendo uso de la regla del producto para la probabilidad de sucesos compuestos:

 

 

d) La media es el promedio de cada valor multiplicado por su probabilidad:

e) El valor más cercano es 1 (1 oliva negra) y el más alejado 3 (3 olivas negras)

f) La varianza y la desviación típica nos miden lo precisos o variables que son nuestros resultados:

g) A la media también se le llama esperanza, pues el valor más esperado de obtener.

En este caso, si tuviéramos que apostar, sería “sacar 1 oliva negra”. La desviación típica nos indica que el grado de desviación es de 0,856, lo que significa que los resultados de la mayor parte de realizaciones del experimento se sitúan entre:

Simplificando: entre 1 y 2 olivas negras.

Vídeo complementario