Sucesos dependientes e independientes

Introducción

Dos sucesos son independientes si el hecho de que suceda A no afecta a la probabilidad de que ocurra B.

Dos sucesos son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Para determinar si dos sucesos son o no independientes, deberemos comprobar que se cumple la siguiente igualdad, que se cumple solo cuando los dos sucesos son independientes:

Si son dependientes, la fórmula de la intersección es:

Ejemplo: Comparación diagrama de árbol de sucesos dependientes e independientes

Vamos a comparar el diagrama de árbol de un experimento si los sucesos son dependientes o independientes.

Se tiene una urna con 3 bolas rojas y 2 bolas azules. Vamos a estudiar el experimento “extraer una bola al azar”, en el caso 1 con reemplazo y en el caso 2 sin reemplazo:
 

Caso 1: Con reemplazo, es decir, devolviendo a la bolsa la bola extraída en la 1ª extracción:

Vemos que la probabilidad de roja o azul se mantiene constante, la primera y la segunda extracción son sucesos independientes

Caso 2: Sin reemplazo, es decir, sin devolver a la bolsa la bola extraída en la 1ª extracción:

Vemos que la probabilidad de roja o azul cambia en la 2ª extracción respecto de la 1a, la primera y la segunda extracción son sucesos dependientes, el resultado obtenido en la primera parte, afecta a la probabilidad de la segunda.

Sucesos independientes

Cuando tenemos dos sucesos independientes, la probabilidad individual de cada uno no se ve afectada por la ocurrencia del otro suceso.

En estos casos, la probabilidad condicionada (probabilidad de que ocurra un suceso cuándo ha ocurrido otro del que depende) coincide con la probabilidad individual de cada suceso porque no se afectan entre sí:

En caso de que nos indiquen que los sucesos son independientes, deberemos hacer uso de la siguiente fórmula para calcular su intersección:

Si nos piden que lo comprobemos nosotros, deberemos calcular el valor de

y compararlo con el producto de las probabilidades individuales de A y B.

Sucesos dependientes

Si no se verifica la igualdad anterior, estaremos ante un caso de sucesos dependientes, por lo que, tendremos que hablar de probabilidades condicionadas, dado que la probabilidad de que se dé un suceso se va a ver afectada si ocurre el otro y viceversa.

En este caso, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, A y B, vendrá determinada por el producto de la probabilidad de B y la probabilidad de que suceda A cuándo ha sucedido B:

Ejercicios resueltos

1. En una clase de la Facultad de Económicas de 30 alumnos tenemos: 18 alumnos que han aprobado estadística, 16 que han aprobado contabilidad y 6 que no han aprobado ninguna de las dos asignaturas. Se elige al azar un alumno de la clase:

a) Probabilidad de que aprobara estadística y contabilidad.

b) Sabiendo que ha aprobado estadística, probabilidad de que haya aprobado contabilidad.

c) ¿Son independientes los sucesos aprobar estadística y aprobar contabilidad?

Solución

Sean los sucesos:

E = “aprobar estadística”

C = “aprobar contabilidad”

 

a) Probabilidad de que aprobara estadística y contabilidad.

 

b) Sabiendo que ha aprobado estadística, probabilidad de que haya aprobado contabilidad.

 

c) ¿Son independientes los sucesos aprobar estadística y aprobar contabilidad?

Son independientes si se cumple que:

Comprobamos que los valores no coinciden, por lo que no son independientes.

2. Un psicólogo de una compañía aérea, por experiencias anteriores, conoce que el 90% de los tripulantes de cabina (TCP) que inician un determinado tratamiento técnico terminan con éxito. La proporción de TCPs con entrenamiento y con experiencia previa es del 10% de entre los que completaron con éxito su entrenamiento y del 25% de entre aquellos que no terminaron con éxito su entrenamiento. Calcula la probabilidad de que un TCP:

a) Supere con éxito el entrenamiento si tiene experiencia previa.

b) Si influye la experiencia previa en el éxito en el entrenamiento.

Solución

Sean los sucesos:

S = “termina el entrenamiento con éxito”

E = “tiene experiencia previa”

 

a) Supere con éxito el entrenamiento si tiene experiencia previa.

 

b) Si influye la experiencia previa en el éxito en el entrenamiento.

La experiencia previa influye desfavorablemente en el éxito en el entrenamiento.

3. Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la probabilidad de que: 

a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.

b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.

c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.

d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?

Solución

Sean los sucesos:
M = “aprobar matemáticas”
E = “aprobar economía”

Conocemos las siguientes probabilidades:

 

a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.

 

b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.

 

c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.

d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?

Serán independientes si se cumple:

Los valores no coinciden por lo que no son sucesos independientes.

Vídeo complementario