Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Ángel Álvarez
Físico
18 de diciembre 2024

Enunciado

Tres cargas están situadas en los vértices Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado, Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado y Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado de un cuadrado de Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado de lado. Sabiendo que: Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado, Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado, y teniendo en cuenta que Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es el cuarto vértice del cuadrado y Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado el punto medio del mismo, calcula:

a) La intensidad de campo eléctrico en el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

b) El potencial en los puntos Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado y Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

c) El trabajo necesario para trasladar una carga de Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado desde el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado al Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

 

Solución

Consideremos el cuadrado ubicado en el plano cartesiano para facilitar los cálculos. Las coordenadas de los vértices se asignan de la siguiente manera: 

  • Vértice Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado: carga Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

  • Vértice Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado: carga Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

  • Vértice Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado: carga Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

  • Vértice Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

  • Vértice Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Recordemos también que la constante de Coulomb es Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado Vamos a resolver cada apartado por separado:

 

a) La intensidad de campo eléctrico en el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

Representamos en primer lugar la situación descrita por el enunciado:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Sabemos que la expresión del campo eléctrico (en módulo) es:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

donde Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es la carga de la partícula que genera dicho campo, Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadradoEjercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es la constante de Coulomb y Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es la distancia desde la masa hasta el punto. 

 

Comencemos con el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado:

 

Para la carga Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado, vemos que:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado
Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

De manera similar, para la carga Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado se tiene que:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado
Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Debemos descomponer Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado en su componente vertical y horizontal. Para ello, obtenemos primero el ángulo del vértice B:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Por ende,

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Finalmente, para la carga Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado se tiene que:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado
Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Entonces, aplicando el principio de superposición:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Hallamos el módulo:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Por lo tanto, el módulo del campo eléctrico en el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

b) El potencial en los puntos Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado y Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

El potencial eléctrico en un punto debido a varias cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales individuales de cada carga. El potencial debido a una carga puntual es:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

El potencial en el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Operando:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

De manera similar, para el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado se tiene que:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Observando la simetría de las posiciones de las cargas respecto de :

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Entonces,

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Calculando:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

 

Por lo tanto, el potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado es Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado, y el potencial en el punto Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

 

c) El trabajo necesario para trasladar una carga de Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado desde el punto  Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado  al Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

El trabajo 𝑊 realizado al mover una carga 𝑞 desde un punto con potencial hasta otro con potencial Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado es:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

Sustituyendo:

Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado

El trabajo negativo indica que se está aumentando la energía potencial eléctrica de la carga al moverla desde 𝑃 hasta 𝐷. Esto ocurre porque estás moviendo la carga contra el campo eléctrico (es decir, el campo eléctrico está resistiendo ese movimiento y no ayudándolo).

 

Por lo tanto, el trabajo que debe realizar una fuerza externa necesario para trasladar una carga de Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado  desde el punto P al D es Ejercicio resuelto: Campo en el vértice de un cuadrado.

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